Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Tam giác ABC có I là giao điểm của 2 đường phân giác của góc B và C

=> AI là phân giác của góc A(1)

Mà tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC 

=> AM vừa là đường trung tuyến vừa phân giác của góc A(2)

Từ (1) và (2) suy ra AI trùng AM

=> A; I; M thằng hàng.

Gọi giao điểm của BI với AC là E, giao điểm của CI và AB và F

Ta có: \(\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

\(\widehat{ACF}=\widehat{BCF}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\)(CF là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\))

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{ABE}=\widehat{CBE}=\widehat{ACF}=\widehat{BCF}\)

Xét ΔFBC và ΔECB có

\(\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\)(ΔABC cân tại A)

BC chung

\(\widehat{FCB}=\widehat{EBC}\)(cmt)

Do đó: ΔFBC=ΔECB(g-c-g)

Suy ra: FB=EC(hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{BFC}=\widehat{CEB}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{BFI}=\widehat{CEI}\)

Xét ΔFBI và ΔECI có 

\(\widehat{FBI}=\widehat{ECI}\)(cmt)

FB=EC(cmt)

\(\widehat{BFI}=\widehat{CEI}\)(cmt)

Do đó: ΔFBI=ΔECI(g-c-g)

Suy ra: IB=IC(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AB=AC(ΔBAC cân tại A)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: IB=IC(cmt)

nên I nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Ta có: MB=MC(M là trung điểm của BC)

nên M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,I,M thẳng hàng(Đpcm)

VCL 

Kẻ IA⊥ED tại A, IB⊥EF tại B, IC⊥DF tại C

Vì I cách đều ba cạnh nên IA=IB=IC

Xét ΔIAE vuông tại A và ΔIBE vuông tại B có 

IE chung

IA=IB(cmt)

Do đó: ΔIAE=ΔIBE(Cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{AEI}=\widehat{BEI}\)(hai góc tương ứng)

\(\Leftrightarrow\widehat{DEI}=\widehat{FEI}\)

hay EI là tia phân giác của \(\widehat{DEF}\)(1)

Xét ΔICF vuông tại C và ΔIBF vuông tại B có 

IF chung

IC=IB(cmt)

Do đó: ΔICF=ΔIBF(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{BFI}=\widehat{CFI}\)(hai góc tương ứng)

\(\Leftrightarrow\widehat{EFI}=\widehat{DFI}\)

hay FI là tia phân giác của \(\widehat{EFD}\)(2)

Xét ΔDAI vuông tại A và ΔDCI vuông tại C có 

DI chung

IA=IC(cmt)

Do đó: ΔDAI=ΔDCI(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{ADI}=\widehat{CDI}\)(hai góc tương ứng)

\(\Leftrightarrow\widehat{EDI}=\widehat{FDI}\)

hay DI là tia phân giác của \(\widehat{EDF}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra I là điểm chung của ba đường phân giác trong của ΔDEF(Đpcm)