a) Gọi d là ước chung lớn nhất của 4n + 3 và 2n + 1         ( n e N )

    Ta có : 4n + 3 \(⋮\)d                  ( 1 )

                2n + 1 \(⋮\)d hay 2 ( 2n + 1 ) \(⋮\)d = 4n + 2 \(⋮\)d                      ( 2 )

      Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra :       ( 4n + 3 ) - ( 4n + 2 ) \(⋮\)d

                                          hay          1 \(⋮\)d      suy ra       d = 1

                       Vậy ƯCLN ( 4n + 3 ; 2n + 1 ) = 1 

b)   Gọi d là ước chung lớn nhất của 6n + 1 và 4n + 5 

      Ta có : 6n + 1 \(⋮\)d hay 2 ( 6n + 1 ) \(⋮\)d = 12n + 2 \(⋮\)d                  ( 1 )

                  4n + 5 \(⋮\)d hay 3 ( 4n + 5 ) \(⋮\)d = 12n + 15 \(⋮\)d                  ( 2 )

        Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra

             ( 12n + 15 ) - ( 12n + 2 ) \(⋮\)d

       Hay 13 \(⋮\)d

      Suy ra d e ƯC ( 13 ) = { 1 ; 13 }

          Ta có 6n + 1 chia hết cho 13 suy ra 2 ( 6n + 1 ) chia hết cho 13 suy ra 13n - ( n - 2 ) chia hết cho 13

                  suy ra n - 2 chia hết cho 13 suy ra n - 2 = 13k suy ra n = 13k + 2       ( k e N )

                    Suy ra với n \(\ne\)13k + 2 thì 6n + 1 không chia hết cho 13  nên d không thể là 13.

             Do đó d = 1 

                    Vậy ƯCLN ( 6n + 1 , 4n + 5 ) = 1

) Gọi d là ước chung lớn nhất của 4n + 3 và 2n + 1 ( n e N )
Ta có : 4n + 3 ⋮d ( 1 )
2n + 1 ⋮d hay 2 ( 2n + 1 ) ⋮d = 4n + 2 ⋮d ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : ( 4n + 3 ) - ( 4n + 2 ) ⋮d
hay 1 ⋮d suy ra d = 1
Vậy ƯCLN ( 4n + 3 ; 2n + 1 ) = 1
b) Gọi d là ước chung lớn nhất của 6n + 1 và 4n + 5
Ta có : 6n + 1 ⋮d hay 2 ( 6n + 1 ) ⋮d = 12n + 2 ⋮d ( 1 )
4n + 5 ⋮d hay 3 ( 4n + 5 ) ⋮d = 12n + 15 ⋮d ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra
( 12n + 15 ) - ( 12n + 2 ) ⋮d
Hay 13 ⋮d
Suy ra d e ƯC ( 13 ) = { 1 ; 13 }
Ta có 6n + 1 chia hết cho 13 suy ra 2 ( 6n + 1 ) chia hết cho 13 suy ra 13n - ( n - 2 ) chia hết cho 13
suy ra n - 2 chia hết cho 13 suy ra n - 2 = 13k suy ra n = 13k + 2 ( k e N )
Suy ra với n ≠ 13k + 2 thì 6n + 1 không chia hết cho 13 nên d không thể là 13.

) Gọi d là ước chung lớn nhất của 4n + 3 và 2n + 1 ( n e N ) T

a có : 4n + 3 ⋮d ( 1 )

2n + 1 ⋮d hay 2 ( 2n + 1 ) ⋮d = 4n + 2 ⋮d ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : ( 4n + 3 ) - ( 4n + 2 ) ⋮d hay 1 ⋮d

suy ra d = 1 Vậy ƯCLN ( 4n + 3 ; 2n + 1 ) = 1

b) Gọi d là ước chung lớn nhất của 6n + 1 và 4n + 5

Ta có : 6n + 1 ⋮d hay 2 ( 6n + 1 ) ⋮d = 12n + 2 ⋮d ( 1 )

4n + 5 ⋮d hay 3 ( 4n + 5 ) ⋮d = 12n + 15 ⋮d ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra ( 12n + 15 ) - ( 12n + 2 ) ⋮d Hay 13 ⋮d

Suy ra d e ƯC ( 13 ) = { 1 ; 13 }

Ta có 6n + 1 chia hết cho 13 suy ra 2 ( 6n + 1 ) chia hết cho 13

suy ra 13n - ( n - 2 ) chia hết cho 13

suy ra n - 2 chia hết cho 13

suy ra n - 2 = 13k

suy ra n = 13k + 2 ( k e N )

Suy ra với n ≠ 13k + 2 thì 6n + 1 không chia hết cho 13 nên d không thể là 13.

gọi m là ƯCLN (2n+3;4n+6)

=> 2n + 3 chia hết cho m

=> 2(2n+3) chia hết cho m

=> 4n+6 chia hết cho m

=> [(4n+6)-(4n+6)]chia hết cho m

còn phần sau thì bn tự lm tiếp nha

b,gọi x là ƯCLN(2n+3 và 4n +8)

=> 2n + 3 chia hết cho m

=> 2(2n+3) chia hết cho m

=> 4n+6 chia hết cho m

=> [(4n+8)-(4n+6)]chia hết cho m

=>2 chia hết cho m

còn phần sau bn tự lm típ nha

chúc bn hok tốt

2:

a: Gọi d=ƯCLN(4n+7;2n+3)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4n+7⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+7⋮d\\4n+6⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow1⋮d\)

=>d=1

=>ƯCLN(4n+7;2n+3)=1

b: Gọi \(d=ƯCLN\left(3n+5;6n+9\right)\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+5⋮d\\6n+9⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+10⋮d\\6n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

=>Đây là phân số tối giản

Gọi Ước chung lớn nhất của 2 số là m

Ta có : 4.(2n+3 ) = 8n+12

          2.(4n+3) = 8n + 6

Ta có : 8n + 12 chia hết cho m

           8n + 6 chia hết cho m

Suy ra : ( 8n + 12 ) - ( 8n + 6) chia hết cho m

Suy ra : 6 chia hết cho m

Vậy m thuộc Ư(6)

Suy ra : m thuộc { 1;2;3;6}

Mà m lớn nhất , suy ra m = 6

Duyệt đi , chúc bạn học giỏi

Gọi ƯCLN(4n+3,5n+2) = d(d ∈ ℕ )

⇒4n+3 ⋮d; 5n+2 ⋮d

⇒ 5.(4n+3)⋮d; 4.(5n+2)⋮d

⇒20n+15 ⋮d; 20n+8 ⋮d

⇒(20n+15-20n-8)⋮d

⇒7 ⋮d

Do đó d ∈ Ư(7)={1;7}

Mà đầu bài cho là (4n+3,5n+2) ≠ 1

⇒d=7

Vậy ƯCLN(4n+3,5n+2) = 7

Gọi d là ƯCLN (2n+1, 4n+3)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\4n+3⋮d\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4n+2⋮d\\4n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\\ \)

Gọi \(ƯCLN\left(2n+1;4n+3\right)\) là \(d\left(d\ne0\right)\)

Theo bài ra ta có : 

\(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\4n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+1\right)⋮d\\4n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4n+2⋮d\\4n+3⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(4n+3\right)-\left(4n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)

Vì \(d\)là \(ƯCLN\Rightarrow d=1\)

Vậy ...