cho x,y,z>0 tm xy+xz+yz=1. tim gtnn cua
S=\(\frac{1}{4x^2-yz+2}+\frac{1}{4y^2-xz+2}+\frac{1}{4z^2-xy+2}\)
Cho\(xy+yz+xz=1\). Hãy tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
\(S=\frac{1}{4x^2-yz+2}+\frac{1}{4y^2-xz+2}+\frac{1}{4z^2-xy+2}\)
HELP. I NEED YOU SO MUCH
Cách giải khác:
Dư đoán khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\) thì ta được \(P_{Min}=1\)
Thật vậy cần chứng minh \(Σ\frac{1}{4x^2-yz+2}\ge1\LeftrightarrowΣ\left(\frac{1}{4x^2-yz+2}-\frac{1}{3}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{1-4x^2+yz}{4x^2-yz+2}\ge0\LeftrightarrowΣ\frac{xy+xz+2yz-4x^2}{4x^2-yz+2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{\left(z-x\right)\left(2x+y\right)-\left(x-y\right)\left(2x+z\right)}{4x^2-yz+2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)\left(\frac{2y+z}{4y^2-xz+2}-\frac{2x+z}{4x^2-yz+2}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(z^2+2xy+2\right)\left(z^2-xy+2\right)\ge0\)
Let \(\hept{\begin{cases}xy=a\\yz=b\\xz=c\end{cases}}\Rightarrow a+b+c=1\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{ac}{b};y^2=\frac{ab}{c};z^2=\frac{bc}{a}\)
Hence \(S=Σ\frac{1}{\frac{4ac}{b}-b+2}=Σ\frac{1}{\frac{4ac}{b}-b+2\left(a+b+c\right)}\)
\(=Σ\frac{1}{\frac{4ac}{b}+2a+b+2c}=Σ\frac{b}{4ac+2ab+b^2+2bc}\)
\(=Σ\frac{b}{\left(2a+b\right)\left(2c+b\right)}\geΣ\frac{4b}{\left(2a+2b+2c\right)^2}=Σ\frac{b}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
\(\frac{xy}{x^2+yz+xz}+\frac{yz}{y^2+xy+xz}+\frac{xz}{z^2+xy+yz}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\)
cm biết x y z >0
#)Góp ý :
Mời bạn tham khảo :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
Mình sẽ gửi link này về chat riêng cho bạn !
Tham khảo qua đây nè :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%Ân-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017
tk cho mk nhé
Cho x ; y; z là các số dương TM : xy + yz + xz = 670 CMR :
\(\frac{x}{x^2-yz+2010}+\frac{y}{y^2-xz+2010}+\frac{z}{z^2-xy+2010}\ge\frac{1}{x+y+z}\)
Cho x;y;z >0 và xy+yz+zx = 1
Tìm Min S =\(\frac{1}{4x^2-yz+2}+\frac{1}{4y^2-zx+2}+\frac{1}{4z^2-xy+2}\)
cho \(x,y,z>0\) tm \(x+y+z\le1\) tìm GTNN
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+xz}\)
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{2xy+2yz+2xz}\)
Theo Bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel ta được :
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{\sqrt{2}^2}{2xy+2yz+2xz}\ge\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\ge\frac{1+2\sqrt{2}+2}{1^2}=3+2\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}...\\...\\...\end{cases}}\)
Vậy \(Min_P=3+2\sqrt{2}\)khi và chỉ khi ...
dấu = bạn tự xét nhé :V
dấu = xảy ra ko đúng rồi phải
thế thì mình chịu rồi đành nhờ ctv khác vậy
Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.Tìm GTNN của biểu thức:P=\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}(1)\)
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yz+xz}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=9(2)\)
Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM ta có:
\(3(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)^2=1\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{7}{xy+yz+xz}\geq 21(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\geq 9+21=30\)Vậy $P_{\min}=30$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}(1)\)
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yz+xz}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=9(2)\)
Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM ta có:
\(3(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)^2=1\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{7}{xy+yz+xz}\geq 21(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\geq 9+21=30\)Vậy $P_{\min}=30$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Cho các số dương x, y, z. CMR:
\(\frac{xy}{x^2+yz+xz}+\frac{yz}{y^2+xy+xz}+\frac{xz}{z^2+yz+xy}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\)
Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Cho các số dương x,y,z . Chứng minh rằng:
\(\frac{xy}{x^2+yz+xz}+\frac{yz}{y^2+xy+xz}+\frac{xz}{z^2+yz+xy}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\)
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/