Gọi K là trung điểm EB

C/m được tứ giác EOIB là hình thang vuông

Xét  ht vuông EOIB có :

HE = HB

KO = KI

=> HK là đường trung bình hình thang vuông EOIB

=> HK // EO

Mà EO vuong góc với AB => HK vuông góc với AB

Xét tam giác KBE có :

KH vuông góc với EB

HE = HB

=> tam giác KBE cân 

=> góc KEB = góc KBE

C/m được tam giác KBC cân tại K

=> góc KBC = góc KCB (1)

Mà góc ABC = góc ACB (2)

Từ (1) và (2) => góc ACK = góc ABK = góc KEB

=> tứ giác AEKC nội tiếp

Tk mk nha

Vẽ hình ra

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường kính $AI$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, $K$ là trung điểm của $OI$, $H$ là trung điểm của $EB$.
a/ Chứng minh  $HK\perp EB$
b/ Chứng minh tứ giác $AEKC$ nội tiếp được trong một đường tròn.

a) Ta thấy E, O là trung điểm của AB và AI nên EO là đường trung bình tam giác ABI

$\Rightarrow$ EO song song với BI.

Ta lại có H, K lần lượt là trung điểm của EB và OI

nên HK là đường trung bình của hình thang EOIB.

=> HK song song với BI (1)

Mặt khác do AI là đường kính nên góc ABI = 90 (2)\widehat{ABI}=90^o

Từ (1) và (2) suy ra $HKvuông\; góc\; vớiEB$(đpcm)

b)

Xét tam giác KBE có KH là trung tuyến đồng thời đường cao (CM trước)

nên KBE là tam giác cân tại K.

=> góc BEK = KBE (3)

Do tam giác ABC cân tại A

nên AI là đường trung trực của BC

Mà K thuộc AI nên KB = KC

hay tam giác KBC cân tại K

=> KBC=KCB 

và ACB=ABC 

$\hat{}$.Mặt khác, ta lại có  ACB=  ACK + KCB và ABC = ABK + KBC

=> ABK=ACK(4)

Từ (3) và (4) suy ra $\hat{}\hat{}$.

 AEKC là tứ giác nội tiếp.

Bài 2:

ΔOBC cân tại O

mà OK là trung tuyến

nên OK vuông góc BC

Xét tứ giác CIOK có

góc CIO+góc CKO=180 độ

=>CIOK là tứ giác nội tiếp

Bài 3:

Xét tứ giác EAOM có

góc EAO+góc EMO=180 độ

=>EAOM làtứ giác nội tiếp

a, Sử dụng tính chất phân giác trong và phân giác ngoài tại 1 điểm ta có:

I B K ^ = I C K ^ = 90 0

=> B, C, I, K ∈ đường tròn tâm O đường kính IK

b, Chứng minh  I C A ^ = O C K ^  từ đó chứng minh được  O C A ^ = 90 0

Vậy AC là tiếp tuyến của (O)

c, Áp dụng Pytago vào tam giác vuông HAC  => AH=16cm. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COA => OH=9cm,OC=15cm

a)     CMR: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc (O).

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IC là phân giác trong của góc C.

Vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC của góc A nên  CK là phân giác ngoài của góc C.

Theo tính chất phân giác trong và phân giác ngoài ta có IC vuông CK nên ∠ICK=90

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: ∠IBK=90

Xét tứ giác BICK ta có: ∠IBK+∠ICK=90+90=180

  là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180)

Do O là trung điểm của IK nên theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì OC = OI = OK.

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IBKC.

b)     CMR: AC là tiếp tuyến của (O).

Ta có : Tam giác IOC cân tại O nên : 

Mặt khác, theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có :

∠OIC=∠IAC+∠ACI=1/2∠BAC+1/2∠ACB=1/2∠BAC+1/2∠ABC

⇒∠ICO+∠ICA=1/2∠BAC+1/2∠ABC+1/2∠ACB=12.180=90 ⇒OC⊥CA.

Do đó AC là tiếp tuyến của (O) tại C (đpcm).

c)     Tính tổng diện tích các hình viên phân giới hạn bởi các cung nhỏ CI, IB, BK, KC và các dây cung tương ứng của (O) biết AB = 20, BC = 24.

Gọi diện tích hình cần tính là S, diện tích hình tròn (O) là S’, gọi giao điểm BC và IK là M.

Ta có ngay :

S = S′−S (ICKB) =π.IO²−S (IBK)−S (IKC)

= π.IK²/4 −(BM.IK)/2−(CM.IK)/2

=πIK²/4 − (BC.IK)/2

Ta có :

     S (ABC) = 1/2 (AM.BC) = (AB+BC+CA) /2 .IM

⇔√(AB²−BM² ) .24 = (AB+BC+CA).IM

⇔√[20²−(24/2)² ]. 24= (20.2+24).IM⇔IM=6.     

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác  vuông tại   có đường cao  ta có :

BM²=IM.MK ⇔MK=BM²/IM=12²/6=24

⇒IM=IM+MK=6+24=30.

⇒S= 1/4(π.IK²)−1/2 BC.IK =1/4 π.30² −1/2(24.30 )  =225π−360 ≈346,86  (dvdt)