Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow ab-bc-ab=0\)

Hay \(ab-bc-ab+c^2=c^2\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(a-c\right)=c^2\)

Nếu \(\left(b-c;a-c\right)=d\ne1\Rightarrow c^2=d^2\left(loai\right)\)

Vậy \(\left(b-c;a-c\right)=1\Rightarrow c-b;c-a\) là 2 số chính phương

Đặt \(b-c=n^2;a-c=m^2\)

\(\Rightarrow a+b=b-c+a-c+2c=m^2+n^2+2mn=\left(m+n\right)^2\) là số chính phương

cho mình hỏi tại sao ở TH1: c^2=d^2 lại loại vậy ạ

Ta sẽ chứng minh:\(P\le\frac{5}{8}\Leftrightarrow5-8P=5+8abc-8\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

Ta có: \(5-8P=\frac{4ab\left[4\left(a+2bc-b-c\right)^2+\left(2c-1\right)^2\right]+c\left(2b-1\right)^2\left[4\left(a+b-c\right)^2+1\right]}{4ab+c\left(2b-1\right)^2}\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số 2a - 1; 2b - 1; 2c - 1 tồn tại ít nhất hai số cùng dấu

Giả sử \(\left(2a-1\right)\left(2b-1\right)\ge0\Leftrightarrow4ab-2a-2b+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow4abc\ge2ac+2bc-c\Leftrightarrow2abc\ge ac+bc-\frac{c}{2}\)

 Khi đó thì\(P=ab+bc+ca-2abc+abc\)\(\le ab+bc+ca-ac-bc+\frac{c}{2}+abc=ab+abc+\frac{c}{2}\)

\(\le\frac{a^2+b^2}{2}+abc+\frac{c}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2+2abc}{2}-\frac{1}{2}\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)\)\(+\frac{1}{8}\)

\(=\frac{5}{8}-\frac{1}{2}\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{5}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Gitpiptidtpidpuutpuzufzoufzourlwg

Ta có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+\)\(bc\)(1)

vì , ta có 

(1) \(\Leftrightarrow\)\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\ge2\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\)\(+\left(a^2-2ac+c^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng) => bất đẳng thức

Ta có :

\(a^2+b^2+c^2-2abc\ge ab+bc+ac-2abc\)

<=>\(a^2+b^2+c^2+2abc-3abc\ge ab+bc+ac-2abc\)

<=> \(1-3abc\ge ab+bc+ac-2abc\)

=> MAX P=1 <=> \(\hept{\begin{cases}a=0\\b=c=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}b=0\\a=c=1\end{cases}}\)

hoặc \(\hept{\begin{cases}c=0\\a=b=1\end{cases}}\)

Sai thì bảo mình nhé

xin lỗi Dòng thứ 8 và 9 phải là 

\(a^2+b^2+c^2+2abc-4abc\ge ab+ac+bc-2abc\)

\(\Leftrightarrow1-4abc\ge ab+ac+bc-2abc\)

9999999999999999x99999999999999 =?

\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right).\)(áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3.64\Rightarrow\left(a+b+c\right)\le8\sqrt{3}\)

Lại có \(\left(ab+bc+ac\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)(bất đẳng thức bunhiacopxki)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2=64\)

Khi đó \(P=ab+bc+ca+a+b+c\le64+8\sqrt{3}\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2+b^2+c^2=64\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)

Ta có:

\(9=\left(b\sqrt{a}+b\sqrt{b}+a\sqrt{c}\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow81\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\Leftrightarrow27\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)

\(\Leftrightarrow3\le a^2+b^2+c^2\Rightarrow\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2}\le\dfrac{9}{3}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1