a: Xét tứ giác AHBD có

M là trung điểm chung của AB và HD

=>AHBD là hình bình hành

Hình bình hành AHBD có \(\hat{AHB}=90^0\)

nên AHBD là hình chữ nhật

=>\(\hat{HAD}=90^0\)

Xét tứ giác AHCE có

N là trung điểm chung của AC và HE

=>AHCE là hình bình hành

Hình bình hành AHCE có \(\hat{AHC}=90^0\)

nên AHCE là hình chữ nhật

=>\(\hat{HAE}=90^0\)

\(\hat{EAD}=\hat{EAH}+\hat{DAH}=90^0+90^0=180^0\)

=>E,A,D thẳng hàng

ΔAHB vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên MH=MA=MB

ΔAHC vuông tại H

mà HN là đường trung tuyến

nên HN=NA=NC

Xét ΔMHN và ΔMAN có

MH=MA

HN=AN

MN chung

Do đó: ΔMHN=ΔMAN

=>\(\hat{MHN}=\hat{MAN}=90^0\)

=>\(\hat{EHD}=90^0\)

Xét ΔHED vuông tại H có HA là đường cao

nên \(AE\cdot AD=HA^2\)

b; \(\sin ABC=\sin\left(2\cdot ABK\right)=2\cdot\sin ABK\cdot cosABK\)

\(=2\cdot\sin ABK\cdot cosCBK\)

 a) Ta có: E và M đối xứng với nhau qua D 
=> DE = DM ; ME vuông góc AB 
Ta có BD = DA ( D là trun điểm AB ) 
mà ME vuông góc AB ( cmt ) 
=> AB là trung trực của ME hay E và M đối xứng nhau qua D 
b) Xét Tam giác ABC có: 
M là trung điểm BC ( gt ) 
D là trung điểm AB ( gt) 
=> DM là đường trung bình tam giác ABC 
=> DM // AC; DM = 1/2AC 
mà E thuộc DM 
nên EM // AC 
Xét tứ giác AEMC có: 
EM // AC ( cmt) 
EM = AC ( cùng = 2DM ) 
=> Tứ giác AEMC là hình bình hành( tứ giác có 2 cạnh đối vừa // vừa = nhau là hình bình hành) 
c) Xét tứ giác AEBM có: 
ED = DM ( gt ) 
DB = AD ( gt ) 
=> Tứ giác AEBM là hình bình hành ( D/h 5 ) 
mà AB vuông góc EM 
=> hbh AEBM là hình thoi ( D/h 3 ) 
d) Ta có : AM = 1/2BC ( trung tuyến ứng với cạnh huyền) 
=> AM = 1/2 . BC = 1/2. 5 = 2,5 (cm) 
Chu vi hình thoi AEBM: 
2,5 . 4 =10 (cm) 

Bài này có gì đâu em ! Anh làm nhé !

Chuyển vế cái cần chứng minh ta được 

1/AB^2 - 1/AE^2 =1/4AF^2

hay ( AE^2 - AB^2)/AB^2.AE^2 = 1/4AF^2

hay BE^2/ 4BC^2.AE^2 = 1/AF^2

Nhân chéo hai vế ta có : BC.AE = BE.AF hay là BC/AF = BE/AE

a)Ta có 

BK=KC (GT)

AK=KD( Đối xứng)

suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành (1)

mà góc A = 90 độ (2)

từ 1 và 2 suy ra tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) ta có

BI=IA

EI=IK

suy ra tứ giác AKBE là hình bình hành (1)

ta lại có 

BC=AD ( tứ giác ABDC là hình chữ nhật)

mà BK=KC

      AK=KD

suy ra BK=AK (2)

Từ 1 và 2 suy ra tứ giác AKBE là hình thoi

c) ta có

BI=IA

BK=KC

suy ra IK là đường trung bình

suy ra IK//AC

          IK=1/2AC

mà IK=1/2EK

Suy ra EK//AC 

           EK=AC

Suy ra tứ giác  AKBE là hình bình hành

a) Chứng minh tứ giác $ADHK$ là hình chữ nhật.

Vì $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $DH$.

Suy ra: $AD=AH$ và $AD\perp DH$.

Mặt khác $K$ là giao điểm của $AC$ và $EH$, mà $E$ đối xứng của $H$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $EH$.

Suy ra: $AK=AH$ và $AK\perp EH$.

Do $AC\perp AB$ nên:

$DH\parallel AC$ và $HK\parallel AB$.

Suy ra: $DH\parallel AK,\quad AD\parallel HK$.

Vậy $ADHK$ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat{ADH}=90^\circ$.

Do đó: $ADHK$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $D,E,A$ thẳng hàng.

Ta có: $AD=AH=AE$.

Lại có: $\widehat{DAH}=\widehat{HAE}$.

Mà $AB\perp AC$ nên: $\widehat{DAH}+\widehat{HAE}=180^\circ$.

Suy ra: $\widehat{DAE}=180^\circ$.

Vậy: $D,A,E$ thẳng hàng.

c) Chứng minh $AM\perp IK$.

Vì $ADHK$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo:

$AH$ và $DK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác: $I=AD\cap BH$.

Xét tam giác vuông $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $MA=MB=MC$.

Suy ra $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Từ các tính chất đối xứng qua $AB$ và $AC$, suy ra:

$I$ và $K$ là hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng $AM$.

Do đó: $AM$ là đường trung trực của $IK$.

Suy ra: $AM\perp IK$.