3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.

=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2

BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)

VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)

\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)

Dấu''='' tự giải ra nhá

Bài 4 

dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)

rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm. 

đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

bài 1 \(\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{y}{z}\right)^2\ge2\times\frac{x}{y}\times\frac{y}{z}=2\frac{x}{z}\)

làm tương tự rồi cộng các vế các bất đẳng thức lại với nhau ta có dpcm ( cộng xong bạn đặt 2 ra ngoài ý, mk ngại viết nhiều hhehe) 

Theo BĐT AM-GM :

\(\sqrt{b}=\sqrt{b\cdot1}\le\frac{b+1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}\ge\frac{a}{\frac{b+1}{2}}=\frac{2a}{b+1}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)

+ Tương tự ta cm đc :

\(\frac{b}{\sqrt{c}}\ge\frac{2b}{c+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)

\(\frac{c}{\sqrt{a}}\ge\frac{2c}{a+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)

Do đó : \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+}+\frac{c}{a+1}\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Ta có: \(\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{a+b}{bc+a^2}-\frac{b+c}{ac+b^2}-\frac{c+a}{ab+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-b^4c^2a^2-c^4a^2b^2}{abc\left(bc+a^2\right)\left(ac+b^2\right)\left(ab+c^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^4b^4+2b^4c^4+2c^4a^4-2a^4b^2c^2-2b^4c^2a^2-2c^4a^2b^2}{2abc\left(bc+a^2\right)\left(ca+b^2\right)\left(ab+c^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2b^2-b^2c^2\right)^2+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)^2+\left(c^2a^2-a^2b^2\right)^2}{2abc\left(bc+a^2\right)\left(ac+b^2\right)\left(ab+c^2\right)}\ge0\)(Đúng) (do a, b, c>0 )

bạn ơi mik chỉ làm ngếu ngáo thôi nhé :)) đúng thì đúng mà sai thì thôi nhé :)) cách mình tự chế nhé

đặt \(\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ac}+\frac{c+a}{c^2+ab}=Pain\)

áp dụng định lí six paths of Pain :) ta có

\(\frac{\left(a+b\right)}{a^2+bc}=\frac{\left(a+b\right)}{\frac{\left(a+b\right)}{\left(a+c\right)}}=\frac{1}{\left(a+c\right)}\) ( định lí Six Paths of Pain ) hì hì  

thay vào ta được :)

\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

áp dụng cô si sáp cho 2 số ta có

\(\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\) luôn đúng

\(\frac{1}{b+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\) luôn đúng

\(\frac{1}{c+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\right)\) luôn đúng

cộng các vế lại ta được và rút 2/2 ta được :))

\(Pain\le\frac{1}{2}\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)=\frac{2}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

hình như BDT  đã được chứng minh :))

theo bài của bạn Phạm quốc cường ta có :))

\(\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ac}+\frac{c+a}{c^2+ab}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) luôn đúng :))

tức là  \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b}=\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ac}+\frac{c+a}{c^2+ab}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)luôn đúng :))

tức là định Lí six paths of Pain luôn đúng :))

dấu = xảy ra khi nào thì mình éo biết được :))

: các thành phần trẩu tre éo làm thì đừng tích sai cho mình nhé :)) mik ms lớp 7 thôi còn gà lắm :))

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với a , b > 0

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\\\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng theo từng vế:

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) ( đpcm )

Với a , b , c > 0

Ta có: \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) \(a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{a+b}{4ab}\ge\frac{1}{a+b}\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4b}+\frac{1}{4a}\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(1)

Chứng minh tương tự ta cũng có được:

\(\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (2)

và \(\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\) (3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( ĐPCM)

BĐT phụ:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ( đpcm )

Vậy.......

\(\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{b}\) BĐT Cô-si

Tương tự suy ra đpcm