\(P+3=\frac{xy}{1+x+y}+1+\frac{yz}{1+y+z}+1+\frac{xz}{1+x+z}+1\)
\(\frac{xy}{1+x+y}+1=\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{1+x+y}\)
\(P+3=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\left(\frac{1}{\left(z+1\right)\left(x+y+1\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)\left(x+z+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+z+1\right)}\right)\)
\(P+3\ge\left(xyz+xy+xz+yz+1\right)\left(\frac{9}{xy+xz+x+y+z+1+xy+yz+x+y+z+1+xz+yz+x+y+z+1}\right)\)
 

dòng cuối cùng sai, sửa :
\(P+3\ge\left(xyz+xy+xz+yz+1\right)\left(\frac{9}{xy+xz+x+y+z+1+xy+yz+x+y+z+1+xz+yz+x+y+z+1}\right)\)
\(P+3\ge\left(3xyz+xy+xz+yz\right)\left(\frac{9}{2\left(3xyz+xy+xz+yz\right)}\right)=\frac{9}{2}\)
\(P\ge\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=\(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)

sorry nhé =)) ghi sửa mà chép y nguyên :v phân tích nhân tử :
\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1\)

Ta có: 

\(3=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\Leftrightarrow xyz\le1\)

Ta lại có:

\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{3}{\sqrt[6]{xyz}}\ge\frac{3}{1}=3\)

\(\frac{x}{1+y^2}=\frac{x\left(1+y^2\right)-xy^2}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\)

Áp dụng Côsi: \(1+y^2\ge2y\Rightarrow\frac{xy^2}{1+y^2}\le\frac{xy^2}{2y}=\frac{xy}{2}\Rightarrow-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge-\frac{xy}{2}\)

Do đó: \(\frac{x}{1+y^2}\ge x-\frac{xy}{2}\)

Tương tự ta có: \(\frac{y}{1+z^2}\ge y-\frac{yz}{2};\frac{z}{1+x^2}\ge z-\frac{zx}{2}\)

Mà \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zy\right)\ge xy+yz+zx+2\left(xy+yz+zy\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2=3\)

 \(\Rightarrow\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\ge x+y+z-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\ge3-\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Vậy GTNN của P là 1

AP DUNG BDT CAUCHY-SCHWAR :  \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)(DAU "=" XAY RA KHI \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\))

...Cauchy-Schwarz: 

\(Q\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=\frac{36}{1}=36\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=y\\3y=2z\\z=3x\end{cases}}\)

Giải tiếp t cái dấu = :v

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+zx}\)

\(M\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{7}{xy+yz+zx}\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :

\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)

và \(\frac{7}{xy+yz+xz}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}=21\)

\(\Rightarrow M\ge9+21=30\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có:

\(M=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)

\(\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{7}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}=30\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=¹/₃

cậu tự mà làm đi sao cứ bắt người khác làm hộ vậy

Bạn kia làm ra kết quả đúng nhưng cách làm thì tào lao nhưng vẫn ra ???

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)

Tương tự:\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\frac{3}{2}\),\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}\)

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta được:

\(P+\frac{x+y+z}{2}+\frac{\left(x+y+z\right)+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow P+\frac{3}{2}+\frac{6}{4}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2+x}=\frac{x}{2}=\frac{x+1}{4}\\\frac{1}{y^2+y}=\frac{y}{2}=\frac{y+1}{4}\\\frac{1}{z^2+z}=\frac{z}{2}=\frac{z+1}{4},x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=1\)

Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có

\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+x+y+z}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

lớp 8 đã học bất đẳng thức Bunhiacopski rồi à