Xét ΔABD có \(\widehat{B}>90^0\)

nen AD là cạnh lớn nhất

=>AB<AD(1)

XétΔADC có \(\widehat{ADC}>90^0\)

nên AC là cạnh lớn nhất

=>AD<AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AB<AD<AC

a)

\(AB > AC \Rightarrow \widehat {ABC} < \widehat {ACB}\)( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ABC)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {180^0} - \widehat {ABD} < {180^0} - \widehat {ACE}\\ \Rightarrow \widehat {ABD} > \widehat {ACE}\end{array}\)

Vì BD= BA nên tam giác ABD cân tại B \( \Rightarrow \widehat {ABD} = {180^0} - 2\widehat {ADB}\)

Vì CE = CA nên tam giác ACE cân tại C \( \Rightarrow \widehat {ACE} = {180^0} - 2\widehat {AEC}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {{180}^0} - 2\widehat {ADB} > {{180}^0} - 2\widehat {AEC}}\\{ \Rightarrow \widehat {ADB} < \widehat {AEC}}\\{Hay{\mkern 1mu} \widehat {ADE} < \widehat {AED}}\end{array}\)

b) Xét tam giác ADE ta có : \(\widehat {ADB} < \widehat {AEC}\)

\( \Rightarrow AD > AE\)(Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác). 

Hình ảnh minh họa , tại e k biết vẽ nhưng A và D = 90 độ và MC=CD , MB=AB . Hình dạng đúng rồi nhưng số đo góc và cạnh k đúng

Hình vẽ:

Từ giả thiết ta có \(\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{CD}{AB}\left(1\right)\)

Mặt khác \(\left\{{}\begin{matrix}BA\perp AD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\Rightarrow BA//CD\)

\(\Rightarrow\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{NC}{NA}\left(2\right)\) (Định lí Talet)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{NC}{NA}\)

\(\Rightarrow MN//AB\)

Mà \(AB\perp AD\Rightarrow MN\perp AD\)

góc B > 90 độ

\(\Rightarrow\)cạnh huyền AD lớn nhất => AB < AD  (1)

góc ADC > góc B = 90 độ  (góc ngoài tại D của tam giác ABD)

=> góc ADC > 90 độ => cạnh huyền AC lớn nhất => AD < AC  (2)

Từ (1) và (2), => AB < AD <AC (đpcm)

trong tam giác ABD có góc B > 90 độ => góc B là góc lớn nhất và góc ADB <90 độ

=> AD> AB ( quan hệ góc cạnh trong tam giác)  hay AB<AD (1)         

có góc ADB + góc ADC = 180 độ mà góc ADB < 90 độ  

=> góc ADC > 90 độ  

trong tam giác ADC có góc ADC > góc ACD => AC> AD hay AD<AC (2) 

từ (1) và (2) => AB< AD< AC

Ta có \(\widehat {BAC}\)  là góc tù nên \(\widehat {ADE},\widehat {AED}\)  là các góc nhọn

\( \Rightarrow \widehat {DEC}\) là góc tù

\( \Rightarrow DE < DC\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác DEC). (1)

 Xét tam giác ADC có:

\(\widehat {DAC}\) là góc tù nên \(\widehat {ADC},\widehat {ACD}\) là các góc nhọn

\( \Rightarrow \widehat {BDC}\) là góc tù.

\( \Rightarrow DC < BC\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác BDC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC > DE