a: Xét tứ giác MQAP có 

MQ//AP

MP//AQ

Do đó: MQAP là hình bình hành

a: Xét ΔKMI và ΔKNH có

\(\widehat{KMI}=\widehat{KNH}\)(hai góc so le trong, MI//HN)

KM=KN

\(\widehat{IKM}=\widehat{HKN}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKMI=ΔKNH

=>KI=KH

=>K là trung điểm của HI

Xét tứ giác MINH có

K là trung điểm chung của MN và HI

nên MINH là hình bình hành

b: Ta có: MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của MP và NQ

Xét ΔNMP có

PK,NO là các đường trung tuyến

PK cắt NO tại H

Do đó: H là trọng tâm của ΔNMP

Xét ΔMNP có

PK là trung tuyến

H là trọng tâm

Do đó: \(PH=\dfrac{2}{3}PK\)

PH+HK=PK

=>\(HK+\dfrac{2}{3}PK=PK\)

=>\(HK=\dfrac{1}{3}PK\)

=>PH=2KH

mà KI=2KH(K là trung điểm của IH)

nên PH=HI

=>H là trung điểm của PI

c: Xét ΔMNP có

NO là đường trung tuyến

H là trọng tâm

Do đó: OH=1/3NO

=>OH=1/3QO

QO+OH=QH

=>\(\dfrac{1}{3}QO+QO=QH\)

=>\(QH=\dfrac{4}{3}QO\)

=>\(\dfrac{QO}{QH}=\dfrac{3}{4}\)

Xét ΔQHP có OF//HP

nên \(\dfrac{QO}{QH}=\dfrac{QF}{QP}\)

=>\(\dfrac{QF}{QP}=\dfrac{3}{4}\)

giúp mik với ak

a, Xét tứ giác MNPB có:

MN//PB (Vì MN//BC và P ϵ BC)

MB//NP (Vì AB//NP và M ϵ AB)

=> Tứ giác MNPB là hbh

b, Ta có:

M là trung điểm AB 

MN//BC

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC

=> N là trung điểm AC, MN=BC/2 và MN//BC

Xét 2 tam giác AMN và NPC có

AM=NP (Vì AM=BM, BM=NP)

AN=NC

MN=PC ( Vì MN=BC/2, MN=BP)

=> Tam giác AMN = Tam giác NPC (c.c.c)

b: Xét hình thang MNPQ có EF//QP

nên ME/MQ=NF/NP(1)

Xét ΔMQP có EO//QP

nên EO/QP=ME/MQ(2)

Xét ΔNQP có OF//QP

nên OF/QP=NF/NP(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OE/QP=OF/QP

hay OE=OF

Theo tính chất: Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, ta suy ra I là trung điểm của NQ và MP.

Xét tam giác MQN có I là trung điểm NQ, IE // MN nên IE là đường trung bình tam giác.

Vậy nên IE = MN/2

Tương tự IF là đường trung bình tam giác ANP nên IF = MN/2

Vậy nên IE = IF hay I là trung điểm EF.

Bài 2:

b: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AC

N là trung điểm của AB

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔGBC có 

K là trung điểm của GB

I là trung điểm của GC

Do đó: KI là đường trung bình của ΔGBC

Suy ra: KI//BC và \(KI=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra NM//KI và NM=KI

Xét tứ giác NMIK có 

NM//KI

NM=KI

Do đó: NMIK là hình bình hành

a) Ta có:-

- M là trung điểm của AB

⇒  AM = MB.

- N là trung điểm của BC

⇒ BN = NC.

- P là trung điểm của CD

⇒ CP = PD.

- Q là trung điểm của DA

⇒ DQ = QA.

Do đó, ta có: AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA.

⇒ tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Có:

- I là trung điểm của AC

⇒AI = IC.

- K là trung điểm của BD

⇒ BK = KD.

Do đó, ta có: AI = IC = BK = KD.

⇒ tứ giác INKQ là hình bình hành.

b)Gọi O là giao điểm của MP và NQ ta có:

MP // AB và NQ//CD ( M và N là trung điểm của AB và CD).

⇒ MP song song với NQ.

do đó :O nằm trên MP và NQ.

  Gọi H là giao điểm của MI và NK ta có:

MI // AC và NK // BD (do I và K là trung điểm của đường chéo AC và BD). 

⇒ MI song song với NK.

  Do đó: H nằm trên cả MI và NK.

  Gọi G là giao điểm của OH và BD ta có:

OH //MP và BD // MP (do O nằm trên MP và NQ, và H nằm trên  MI và NK). 

⇒ OH song song với BD.

doo đó: G nằm trên OH và BD.

⇒ I, O, K thẳng hàng.(ĐPCM)

a: Xét ΔBAC có BM/BA=BN/BC=1/2

nên MN//AC và MN=1/2AC

Xét ΔDAC có DQ/DA=DP/DC

nên PQ//AC và PQ/AC=DQ/DA=1/2

=>PQ=1/2AC

=>MN//PQ và MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

Xét ΔCAB có CI/CA=CN/CB=1/2

nên IN//AB và IN=1/2AB

Xét ΔDAB có DQ/DA=DK/DB=1/2

nên QK//AB và QK=1/2AB

=>IN//QK và IN=QK

=>INKQ là hình bình hành

b: MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của NQ

INKQ là hbh

=>IK cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>I,O,K thẳng hàng