\(A=\frac{9a^5-ab^4-18a^4b+2b^5}{3a^2b^2+ab^4-6a^2b^3-2b^5}\)

\(=\frac{a\left(9a^4-b^4\right)-2b\left(9a^4-b^4\right)}{ab^2\left(3a^2+b^2\right)-2b^3\left(3a^2+b^2\right)}\)

\(=\frac{\left(9a^4-b^4\right)\left(a-2b\right)}{\left(3a^2+b^2\right)\left(ab^2-2b^3\right)}\)

\(=\frac{\left(3a^2-b^2\right)\left(3a^2+b^2\right)\left(a-2b\right)}{\left(3a^2+b^2\right)b^2\left(a-2b\right)}\)

\(=\frac{3a^2-b^2}{b^2}\)

\(=3.\left(\frac{a}{b}\right)^2-1=3.\left(\frac{2}{3}\right)^2-1=\frac{1}{3}\)

a) Ta có A = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²²

2A = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰²³

2A - A = ( 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰²³ ) - ( 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²² )

A = 2²⁰²³ - 2

Lại có B = 5 + 5² + 5³ + ... + 5²⁰²²

5B = 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5²⁰²³

5B - B = ( 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5²⁰²³ ) - ( 5 + 5² + 5³ + ... + 5²⁰²² )

4B = 5²⁰²³ - 5

B = \(\dfrac{5^{2023}-5}{4}\)

b) Ta có : A + 2 = 2^x

⇒ 2²⁰²³ - 2 + 2 = 2^x

⇒ 2²⁰²³ = 2^x

Vậy x = 2023

Lại có : 4B + 5 = 5^x

⇒ 4 . \(\dfrac{5^{2023}-5}{4}\) + 5 = 5^x

⇒ 5²⁰²³ - 5 + 5 = 5^x

⇒ 5²⁰²³ = 5^x

Vậy x = 2023

a) \(B=5+5^2+5^3+...+5^{2022}\)

\(\Rightarrow5B=5^2+5^3+5^4+...+5^{2023}\)

\(\Rightarrow4B=5^{2023}-5\)

b) \(4B+5=5^X\)

Hay \(5^{2023}-5+5=5^X\)

\(5^{2023}=5^x\)

\(\Rightarrow x=2023\)

   B = 5 + 5² + 5³ +...+ 5²⁰²²

5.B =       5² + 5³ +....+ 5²⁰²³

5B- B =   5²⁰²³ - 5

4B     = 5²⁰²³ - 5

b, 4B + 5 = 5\(^x\) ⇒ 5²⁰²³ - 5 + 5 = 5\(^x\)

                           5\(^{2023}\)             = 5^\(x\)

                                  \(x\)                 = 2023

Nguyễn Thị Thương Hoài

Cô ơi, x = 2023 vì x nằm ở mũ nha cô.

Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}\)

Đặt \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3k\\b=5k\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{2a-4b}{a-5b}\)

\(=\dfrac{2\cdot3k-4\cdot5k}{3k-5\cdot5k}=\dfrac{6k-20k}{3k-25k}\)

\(=\dfrac{-14k}{-22k}=\dfrac{7}{11}\)

\(1,\sqrt{4\left(a-4\right)^2}\left(dkxd:a\ge4\right)\)

\(=\sqrt{4}.\sqrt{\left(a-4\right)^2}\)

\(=\sqrt{2^2}.\left|a-4\right|\)

\(=2\left(a-4\right)\)

\(=2a-8\)

\(2,\sqrt{9\left(b-5\right)^2}\left(dkxd:b< 5\right)\)

\(=\sqrt{9}.\sqrt{\left(b-5\right)^2}\)

\(=\sqrt{3^2}.\left|b-5\right|\)

\(=3\left(-b+5\right)\)

\(=-3b+15\)

2/ (b⁴ - 4b² + 4) - 9a² = (b² - 2)²  - 9a² = (b² - 2 + 3a)(b² - 2 - 3a)

3/ (x² +1)(x² + x + 1)[x + (√13 - 7)/6][3x - (√13 + 7)/2]

bạn viết hẳn cách làm câu 3 cho mình đc k mình k hiểu lắm =)

Tất cả các câu này đều có thể chứng minh bằng phép biến đổi tương đương:

a.

\(\Leftrightarrow a^{10}+b^{10}+a^4b^6+a^6b^4\le2a^{10}+2b^{10}\)

\(\Leftrightarrow a^{10}-a^6b^4+b^{10}-a^4b^6\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^6\left(a^4-b^4\right)-b^6\left(a^4-b^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^4-b^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

b.

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2-ab+ac-2bc\right)+b^2-2b+1+c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{2}-b+c\right)^2+\left(b-1\right)^2+c^2\ge0\) (luôn đúng)

c.

\(\Leftrightarrow a^2+4b^2+4c^2-4ab-8bc+4ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b+2c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

d.

\(\Leftrightarrow4a^4-8a^3+4a^2+a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a^2-2a\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)