Câu hỏi của trần như - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Bài 1 em tham khảo tại link trên nhé.

Ta thấy: \(2017^{2016}\equiv1\)(mod 6)

Từ đó: (1 <= i <= k) \(\text{Σ}n_i\equiv1\)(mod 6)

Dễ chứng minh: \(\left(6k+m\right)^3\equiv m\equiv6k+m\)(mod 6) với 0<=m<=6

Từ đó ta có: \(x^3\equiv x\)(mod 6) với x là số tự nhiên

Vậy \(\text{Σ}n_i^3\equiv\text{Σ}n_i\equiv1\)(mod 6)

Vậy \(\text{Σ}n_i^3\)chia 6 dư 1

ta có: \(N=2017^{2016}\)

xét \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a³-a chia hết cho 6 với mọi a

đặt N=\(n_1+n_2+...+n_k=2017^{2016}\)

\(\Rightarrow S-N=\left(n_1^5+n_2^3+....+n_k^3\right)-\left(n_1+....+n_k\right)=\left(n_1^3-n_1\right)+\left(n_2^3-n_2\right)+....+\left(n_k^3-n_k\right)\)

\(\Rightarrow S-N⋮6\)

=> S và N cùng số dư khi chia cho 6

thấy 2017 chia 6 dư 1

2017²⁰¹⁶ chia 6 dư 1 => N chia 6 dư 1

=> S chia 6 dư 1

đặt 2015²⁰¹⁶ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a₁₀₀

đặt    S = a₁³ + a₂³ + a₃³ + a₄³ + ... + a₁₀₀³

     S - 2015²⁰¹⁶ = (a₁³ + a₂³ + a₃³ + a₄³ + ... + a₁₀₀³) - (a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a₁₀₀)

                       = (a₁³ - a₁) + (a₂³ - a₂) + (a₃³ - a₃) + (a₄³ - a₄) + ... + (a₁₀₀³ - a₁₀₀)

ta thấy mỗi hiệu trên đều chia hết cho 6(vì mỗi hiệu đều là tích 3 số tự nhiên liên tiếp)

=> S - 2015²⁰¹⁶ chia hết cho 6

=> S và 2015²⁰¹⁶ chia 6 có cùng số dư

lại thấy 2015 chia 6 dư -1 => 2015²⁰¹⁶ chia 6 dư (-1)²⁰¹⁶ hay 2015²⁰¹⁶ chia 6 dư 1

=> S chia 6 dư 1

vậy tổng các lập phương của mỗi số hạng của tổng 2015²⁰¹⁶ chia 6 dư 1

mà giờ là chiều rui còn đâu

\(2015^{2015}=2014.2015^{2014}+2015^{2014}\)

Trên là 1 cách viết

G/s: 2015^2015 có thể viết thành tổng k số tự nhiên bất kì: n₁ + n₂ +...+n_k 

Xét \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) tích của 3 số tự nhiên liên tiếp vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3 

mà ( 2; 3) = 1; 2.3 = 6 

Do đó: \(n^3-n\) chia hết cho 6 

Khi đó:

 \(n_1^3-n_1⋮6\)

\(n_2^3-n_2⋮6\)

\(n_3^3-n_3⋮6\)

....

\(n_k^3-n_k⋮6\)

=> \(\left(n_1^3-n_1\right)+\left(n_2^3-n_2\right)+...+\left(n_k^3-n_k\right)⋮6\)

=> \(\left(n_1^3+n_2^3+...+n_k^3\right)-\left(n_1+n_2+...+n_k\right)⋮6\)

=> \(\left(n_1^3+n_2^3+...+n_k^3\right);\left(n_1+n_2+...+n_k\right)\) có cùng số dư khi chia cho 6

Mặt khác: 

\(n_1+n_2+...+n_k=2015^{2015}\equiv\left(-1\right)^{2015}\equiv-1\equiv5\left(mod6\right)\)

=> 2015^2015 chia 6 dư 5

Hoặc có thể làm: 

\(n_1+n_2+...+n_k=2015^{2015}\)

vì 2015 chia 6 dư 5 ; 5^2 chia 6 dư 1 => 2015^2 chia 6 dư 1=> 2015^2014 chia 6 dư 1 => 2015^2015 chia 6 dư 5 

Vậy Tổng lập phương các số tự nhiên đó chia 6 dư 5