Ad C-S

\(\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{\left(x^2\right)^2}{a}+\dfrac{\left(x^2\right)^2}{b}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)

Dạng bài tập chứng minh dạng tổng quát rồi suy ra đpcm

Bài làm :

Xét dạng tổng quát : Cho \(\hept{\begin{cases}a+b=x+y\\a^4+b^4=x^4+y^4\end{cases}}\)

\(a^k+b^k=x^k+y^k\)(1)

+) Xét \(k=1\)ta có (1) hiển nhiên đúng

+) Xét \(k=2\)ta cũng thu được (1) đúng

Giả sử (1) đúng với \(k=n\)

Ta cần chứng minh (1) đúng với \(k=n+1\)

Khi đó : \(\left(1\right)\Leftrightarrow a^{n+1}+b^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}\)

Xét \(a^{n+1}+b^{n+1}=\left(a^n+b^n\right)\left(a+b\right)-a^nb-ab^n\)

\(=\left(a^n+b^n\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)\)

\(=\left(x^n+y^n\right)\left(x+y\right)-ab\left(x^{n-1}+y^{n-1}\right)\)(*)

Ta có \(x^2+y^2=a^2+b^2\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=\left(a+b\right)^2-2ab\)

\(\Leftrightarrow-2xy=-2ab\Leftrightarrow xy=ab\)

Khi đó : (*)\(\Leftrightarrow\left(x^n+y^n\right)\left(x+y\right)-xy\left(x^{n-1}+y^{n-1}\right)=x^{n+1}+y^{n+1}\)

Ta có đpcm

Xem thêm : Câu hỏi của Nguyễn Thu Huyền - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

Lời giải:

Quy nạp. Ta chứng minh tổng quát rằng \(a^k+b^k=x^k+y^k(*)\) với \(k\in\mathbb{N}\)

Với $k=1,k=2$: hiển nhiên theo giả thiết.

............

Giả sử điều \((*)\) đúng tới $k=n$. Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $k=n+1$. Tức là \(a^{n+1}+b^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}\)

Thật vậy:

\(a^{n+1}+b^{n+1}=(a^n+b^n)(a+b)-a^nb-ab^n\)

\(=(x^n+y^n)(x+y)-ab(a^{n-1}+b^{n-1})\)

\(=(x^n+y^n)(x+y)-ab(x^{n-1}+y^{n-1})\)

Vì \(a^2+b^2=x^2+y^2\Rightarrow (a+b)^2-2ab=(x+y)^2-2xy\)

Mà $a+b=x+y$ nên \(2ab=2xy\Rightarrow ab=xy\)

\(\Rightarrow a^{n+1}+b^{n+1}=(x^n+y^n)(x+y)-xy(x^{n-1}+y^{n-1})=x^{n+1}+y^{n+1}\)

Quy nạp hoàn thành. Ta luôn có $(*)$. Thay $k=2018$ ta có đpcm.

Ta có: a+b=x+y

=> a=x=y=b

vậy a²⁰¹⁸+b²⁰¹⁸=x²⁰¹⁸+y²⁰¹⁸