Ta có: \(A=1+2+2^2+....+2^{2005}\)

                \(=1+\left(2+2^2+2^3\right)+.....+\left(2^{2003}+2^{2004}+2^{2005}\right)\)

                   \(=1+2.\left(1+2+2^2\right)+.....+2^{2003}.\left(1+2+2^2\right)\)

                     \(=1+2.7+.....+2^{2003}.7\)

                        \(1+7.\left(2+.....+2^{2003}\right)\)

Vì \(7.\left(2+....+2^{2003}\right)\) chia hết cho 7

=> A chia cho 7 dư 1

A = 1 + 2 + (22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27) + (28 + 29 + 210) + ...+ (22010 + 22011 + 22012)
= 3 + 22(1 + 2 + 22) + 25(1 + 2 + 22) + 28(1 + 2 + 22) + ... + 22010( 1 + 2 + 22)
= 3 + 22.7 + 25.7 + 28.7 + ... + 22010.7
= 3 + 7(22 + 25 + 28 + ... + 22010)
Vậy A chia cho 7 dư 3 

a, \(A=1+2+2^2+2^3+...+2^{2005}\)

\(2A=2.\left(1+2+2^2+2^3+...+2^{2005}\right)\)

\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{2006}\)

\(A=2A-A=\left(2+2^2+2^3+...+2^{2006}\right)-\left(1+2+2^2+2^3+...+2^{2015}\right)\)

\(A=2^{2006}-1\)

c, Số số hạng của A là : (2005 -  1) + 1 = 2005 (số hạng) 

Nếu nhóm 3 số hạng vào 1 nhóm thì có :  2005 : 3 = 668 nhóm dư 1 số hạng 

Ta có : 

\(A=\left(1+2\right)+\left[\left(2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7\right)+...+\left(2^{2003}+2^{2004}+2^{2005}\right)\right]\)

\(A=3+\left[2^2.\left(1+2+2^2\right)+2^5.\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2003}.\left(1+2+2^2\right)\right]\)

\(A=3+\left(2^2.7+2^5.7+...+2^{2003}.7\right)\)

\(\Rightarrow A\div7\) dư 3 

d, Làm tương tự c

\(\Rightarrow A=\left(1+2+2^2\right)+\left(2^3+2^4+2^5\right)+.....+\left(2^{2003}+2^{2004}+2^{2005}\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(1+2+2^2\right)+2^3\left(1+2+2^2\right)+.....+2^{2003}\left(1+2+2^2\right)\)

\(\Rightarrow A=7+2^3.7+....+2^{2003}.7\)

\(\Rightarrow A=7\left(1+2^3+....+2^{2003}\right)\)

Vì 7 chia hết cho 7

Nên 7 chia hết cho 7(1+...+\(2^{2003}\))

Vậy \(7⋮A\)

(A=1+2+2²+2³+.....+2²⁰⁰⁵):7

A=2⁰+2¹+2²+2³+......+2²⁰⁰⁵

2A=2.(2⁰+2¹+2²+2³+.....+2²⁰⁰⁵)

2A=2¹+2²+2³+2⁴+........+2²⁰⁰⁶

2A-A=2²⁰⁰⁶-2⁰

A=2²⁰⁰⁶-2⁰

Xét 2²⁰⁰⁶

2²⁰⁰⁶=2^4.501+2=2^4.501.2²=(2⁴)⁵⁰¹2²

Ta có 2⁴ tận cùng là 6

=>(2⁴)⁵⁰¹ tận cùng là 6

Xét 2⁰

2⁰=1

Chữ số tận cùng của A là 6-1=5

A:7=5:7 dư 5

Vậy A:7 dư 5

Chúc bn học tốt

a, B = (1+2)+(2^2+2^3+2^4)+(2^5+2^6+2^7)+.....+(2^2003+2^2004+2^2005)

      = 3+2^2.(1+2+2^2)+2^5.(1+2+2^2)+.....+2^2003.(1+2+2^2)

      = 3+2^2.7+2^5.7+.....+2^2003.7

      = 3+7.(2^2+2^5+.....+2^2003) chia 7 dư 3

b, 2B = 2+2^2+....+2^2006

B=2B-B=(2+2^2+....+2^2006)-(1+2+2^2+.....+2^2005) = 2^2006-1

Xét : 2^2006 = 2^2.2^2004 = 4.(2^4)^501 = 4.(16)^501 = 4 .  ....6 = ....4 có tận cùng là 4

=> B có tận cùng là 4-1=3

Tk mk nha

a,2^0+2^1+2^2+...+2^2005                                                                                                                                                          2A=2^0.2+2^1.2...+2^2005.2                                                                                                                                                        2^1+2^2+...+2^2006                                                                                                                                                                2A=2A-A=>[2^1+2^2...2^2006]-[2^0+2^1+2^2+...2^2005]                                                                                                             A=[2^2006-2^0]:1