Ta có xy=2 => \(y=\frac{2}{x}\)

ta có : M = \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}=\frac{1}{x}+x+\frac{3}{2x+\frac{2}{x}}+\frac{2}{\frac{2}{x}}-x\)= \(\left(x+\frac{1}{x}\right)+\frac{3}{2\left(\frac{1}{x}+x\right)}\)

Áp dụng BĐT AM - GM ta được :

M \(\ge2\sqrt{\frac{\left(\frac{1}{x}+x\right)3}{\left(\frac{1}{x}+x\right)2}}=2\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}\)

Dấu "="......

Vậy Min M = \(\sqrt{6}\) Khi ......

============

bấm đi bấm lại 2 lần , máy lỗi , phần tìm x,y bạn tự làm nhé 

=========================

mình làm ra rồi khỏi cần giúp nữa

ta có: \(\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}=\sqrt{\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}}\)

Áp dụng BĐT bunyakovsky:\(\left(2+1\right)\left(\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)^2\).....bla bla

ĐK: x khác 0

Từ\(2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}=4\)

\(\Rightarrow x^2+2+\frac{1}{x^2}+x^2+xy+\frac{y^2}{4}=6+xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x+\frac{y}{2}\right)^2=6+xy\)

Do VT > 0\(\Rightarrow6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge6\)
Có A = 2016 + xy > 2016 + 6 = 2022

tth : Viết nhầm :V
Đoạn cuối \(6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge-6\)

Có A = 2016 + xy > 2016 - 6 = 2010 !!!

Được rồi chứ gì -.- 

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x}=0\\x+\frac{y}{2}=0\end{cases}}\)

             \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=1\\x=-\frac{y}{2}\end{cases}}\)

             \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}}\left(h\right)\hept{\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}}\)OK ???

\(3=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x^2+\frac{y^2}{4}\right)\ge2+\left|xy\right|\Rightarrow\left|xy\right|\le1\Rightarrow-1\le xy\le1\Rightarrow Bantulmtiep\)

dùng bđt cô si vào phần giả thiết đã cho nhé bạn , mình đang bận không tiện làm . Nếu cần thì tối rảnh mình làm cho

à quên đề là số thực tihf làm sao cô si được :v chắc ép vô dạng bình phương 2 hoặc 3 số

\(Q=\frac{x^3}{4\left(y+2\right)}+\frac{y^3}{4\left(x+2\right)}=\frac{x^3\left(x+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\frac{y^3\left(y+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)

\(=\frac{x^4+y^4+2x^3+2y^3}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(xy+2x+2y+4\right)}\)

\(=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(2x+2y+8\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)

\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)

\(Q=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\ge\frac{2x^2y^2+2xy\left(x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{2xy\left(xy+x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{8\left(x+y+4\right)}{8\left(x+y+4\right)}=1\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x=y\\xy=4\end{cases}}\Rightarrow x=y=2\)

Vậy GTNN của Q là 1 <=> x = y = 2

Or

\(Q-1=\frac{\left(x^2-y^2\right)^2+2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-8\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\ge0\)*đúng do \(x^2+y^2\ge2xy=8\)*

Do đó \(Q\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2

\(M=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=\frac{6}{\left(x+y\right)^2}=6\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)