`x^2 -2(m+2)x+m^2 +8=0`
tìm m để pt có 2 nghiệm thỏa mãn \(\dfrac{1}{8}\left(x_1-x_2\right)^2-3m=7x_1-3x_2\)
9.2
cho `x^2 -4x+m-5=0`
tìm m để pt có 2 nghiệm pb `x_1 ;x_2` thỏa mãn \(\left(x_1-1\right)\left(x_2^2-3x_2+m-6\right)=-3\)
Cho PT: \(x^2+2\left(m+1\right)x-8=0\left(1\right)\).
Tìm \(m\) để PT có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn: \(x_1^2=x_2\)
PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2+32>0\left(\text{đúng }\forall m\right)\)
Theo Vi-ét: \(\begin{cases} x_1+x_2=-2(m+1)=-2m-2\\ x_1x_2=-8 \end{cases}\)
Vì $x_1$ là nghiệm của PT nên \(x_1^2=-2(m+1)x_1+8\)
Ta có \(x_1^2=x_2\)
\(\Leftrightarrow-2\left(m+1\right)x_1+8=x_2\\ \Leftrightarrow x_2+2mx_1+2x_1-8=0\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)+2mx_1+x_1-8=0\\ \Leftrightarrow x_1\left(2m+1\right)-2m-10=0\\ \Leftrightarrow x_1=\dfrac{2m+10}{2m+1}\)
Mà \(x_1+x_2=-2m-2\Leftrightarrow x_2=-2m-2-\dfrac{2m+10}{2m+1}=\dfrac{-4m^2-8m-12}{2m+1}\)
Ta có \(x_1x_2=-8\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2m+10}{2m+1}\cdot\dfrac{-4m^2-8m-12}{2m+1}=-8\\ \Leftrightarrow\left(2m+10\right)\left(m^2+2m+3\right)=2\left(2m+1\right)^2\\ \Leftrightarrow m^3+3m^2+9m+14=0\\ \Leftrightarrow m^3+2m^2+m^2+2m+7m+14=0\\ \Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(m^2+m+7\right)=0\\ \Rightarrow m=-2\)
Vậy $m=-2$
Cho PT $x^2-2(m-1)x-2m=0$
Tìm $m$ để PT có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2+3x_2-4x_1x_2=5$
P/t có : \(\Delta\)' = \(\left(m-1\right)^2-\left(-2m\right)=m^2+1\ge1>0\forall m\) -> P/t có 2 no x1 ; x2 p/b . Theo Viet có : \(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2\left(m-1\right)\\x1.x2=-2m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x1+x2+x1.x2=-2\)
Mặt # ta có : \(\left[{}\begin{matrix}x1=m-1+\sqrt{m^2+1};x2=m-1-\sqrt{m^2+1}\\x1=m-1-\sqrt{m^2+1};x2=m-1+\sqrt{m^2+1}\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(x1^2+3x2-4x1.x2=5\)
Đặt x1 = a ; x2 = b ; ta có hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+ab+2=0\left(1\right)\\a^2+3b-4ab-5=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) suy ra : \(b=\dfrac{-\left(a+2\right)}{a+1}\) ; ab = -a-b-2 ( Loại a = -1)
Thay vào (2) được : \(a^2+3b+4a+4b+8-5=0\) \(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2+7b=1\)
\(\Leftrightarrow b=\dfrac{1-\left(a+2\right)^2}{7}\)
Suy ra : \(\dfrac{-\left(a+2\right)}{a+1}=\dfrac{1-\left(a+2\right)^2}{7}\)
\(\Leftrightarrow7\left(a+2\right)=\left[\left(a+2\right)^2-1\right]\left(a+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^3+5a^2-11=0\)
Đoạn này bí quá ; bn thử giải xem
Tìm \(m\) để phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+2=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1\), \(x_2\) thỏa mãn \(x_1^2+3x_2^2=4x_1x_2\).
Δ=(2m+2)^2-4(m^2+2)
=4m^2+8m+4-4m^2-8=8m-4
Để phương trình có 2 n0 phân biệt thì 8m-4>0
=>m>1/2
x1^2+3x2^2=4x1x2
=>x1^2-4x1x2+3x2^2=0
=>(x1-x2)(x1-3x2)=0
=>x1=x2 hoặc x1=3x2
TH1: x1=x2
x1+x2=2m+2
=>x1=x2=m+1
x1x2=m^2+2
=>m^2+2=m^2+2m+1
=>2m=1
=>m=1/2(loại)
TH2: x1=3x2
x1+x2=2m+2
=>4x2=2m+2 và x1=3x2
=>x2=1/2m+1/2 và x1=3/2m+3/2
x1x2=m^2+2
=>3/4(m^2+2m+1)=m^2+2
=>m^2+2=3/4m^2+3/2m+3/4
=>1/4m^2-3/2m+5/4=0
=>m=5(nhận) hoặc m=1(nhận)
a) Giả sử phương trình bậc 2: \(x^2-2\left(m-1\right)x-m^3+\left(m+1\right)^2=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\)thỏa mãn \(x_1+x_2\le4\). Tìm Max, Min của \(P=x^3_1+x^3_2+x_1x_2\left(3x_1+3x_2+8\right)\)
b) Cho hàm \(y=f\left(x\right)=2\left(m-1\right)x+\dfrac{m\left(x-2\right)}{\left|x-2\right|}\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(f\left(x\right)< 0,\forall x\in\left[0;1\right]\)
b, Ta có : \(0\le x\le1\)
\(\Rightarrow-2\le x-2\le-1< 0\)
Ta có : \(y=f\left(x\right)=2\left(m-1\right)x+\dfrac{m\left(x-2\right)}{\left(2-x\right)}\)
\(=2\left(m-1\right)x-m< 0\)
TH1 : \(m=1\) \(\Leftrightarrow m>0\)
TH2 : \(m\ne1\) \(\Leftrightarrow x< \dfrac{m}{2\left(m-1\right)}\)
Mà \(0\le x\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{m}{2\left(m-1\right)}>1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{m-2\left(m-1\right)}{2\left(m-1\right)}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2-m}{m-1}>0\)
\(\Leftrightarrow1< m< 2\)
Kết hợp TH1 => m > 0
Vậy ...
\(x^2-2\left(m-1\right)x-m^3+\left(m+1\right)^2=0\)
Để pt có hai nghiệm thỏa mãn
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\x_1+x_2=2\left(m-1\right)\le4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\left(m-2\right)\left(m+2\right)\ge0\\m\le3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left[-2;0\right]\cup\left(2;+\infty\right)\cup\left\{2\right\}\\m\le3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m\in\left[-2;0\right]\cup\left[2;3\right]\)
\(P=x^3_1+x_2^3+x_1x_2\left(3x_1+3x_2+8\right)\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+3x_1x_1\left(x_1+x_2\right)+8x_1x_2\)
\(=8\left(m-1\right)^3+8\left(-m^3+m^2+2m+1\right)\)
\(=-16m^2+40m\)
Vẽ BBT với \(f\left(m\right)=-16m^2+40m\) ;\(m\in\left[-2;0\right]\cup\left[2;3\right]\)
Tìm được \(f\left(m\right)_{min}=-144\Leftrightarrow m=-2\)
\(f\left(m\right)_{max}=16\Leftrightarrow m=2\)
\(\Rightarrow P_{max}=16;P_{min}=-144\)
Vậy....
`x^2 -(m+1)x+m=0`
tìm m để pt có 2 nghiệm `x_1 , x_2` thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)-x_1-x_2+5\)
\(\text{Δ}=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot m\)
\(=\left(m+1\right)^2-4m\)
\(=\left(m-1\right)^2>=0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)-x_1-x_2+5\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+6\)
=>\(\left(m+1\right)^2-2m=m-2\left(m+1\right)+6\)
=>\(m^2+1=m-2m-2+6\)
=>\(m^2+1=-m+4\)
=>\(m^2+m-3=0\)
=>\(m=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}\)
b Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x+m+3=0\) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn \(x_1^2+x_1.x_2+x_2^2=1\)
c Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2=0\) có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+6=0\)
d Tìm m để phương trình \(3x^2+4\left(m-1\right)x+m^2-4m+1=0\) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\) (x1+x2)
b) phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-m^2-3m+m+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow-4m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\le1\)
Ta có: \(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)
Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)^2\right]-2\left(m+3\right)=1\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-10m-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{4}\left(ktm\right)\\m_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\)
1 . Cho pt :\(x^2-mx+m-1=0\) . Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và biểu thức \(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x^2_1+x^2_2+2\left(x_1x_2+1\right)}\) đạt GTLN
2.Giả sử m là giá trị để phương trình \(x^2-mx+m-2=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\dfrac{x_1^{^2}-2}{x_1-1}.\dfrac{x^2_2-2}{x_2-1}=4\) . Tìm các giá trị của m
1.
\(a+b+c=0\) nên pt luôn có 2 nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)
\(A=\dfrac{m^2+2-\left(m^2-2m+1\right)}{m^2+2}=1-\dfrac{\left(m-1\right)^2}{m^2+2}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=1\)
2.
\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{\left(x_1^2-2\right)\left(x_2^2-2\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=4\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1^2+x_2^2\right)+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(m-2\right)^2-2m^2+4\left(m-2\right)+4}{m-2-m+1}=4\)
\(\Rightarrow-m^2=-4\Rightarrow m=\pm2\)
Cho pt: \(x^2-x+m\)=0 (1)
Tìm m để pt(1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn:
\(\left(x^2_1+x_2+m\right)\left(x_2^2+x_1+m\right)\)= \(m^2-m-1\)
\(\Delta=1-4m>0\Rightarrow m< \dfrac{1}{4}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1^2+x_2+m\right)\left(x_2^2+x_1+m\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left[x_1\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_2+m\right]\left[x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_1+m\right]=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-1=1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2>\dfrac{1}{4}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
tìm m để phương trình \(x^{2+}2\left(m-1\right)x+3m-2=0\) có 2 nghiệm trái dấu x1, x2 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x_1}-3=\left|\dfrac{1}{x_2}\right|\)
Để pt có 2 nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow3m-2< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{2}{3}\)
Nếu \(x_1< 0\) thì \(\dfrac{1}{x_1}-3< 0\) trong khi \(\left|\dfrac{1}{x_2}\right|>0\Rightarrow\) không thỏa mãn
Vậy \(x_1>0;x_2< 0\)
Do đó:
\(\dfrac{1}{x_1}-3=\left|\dfrac{1}{x_2}\right|=-\dfrac{1}{x_2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=3\Leftrightarrow x_1+x_2-3x_1x_2=0\)
\(\Leftrightarrow-2\left(m-1\right)-3\left(3m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m=...\)