a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=2. Tìm max và min của \(P=\sqrt{a+b^3c^3}+\sqrt{b+c^3a^3}+\sqrt{c+a^3b^3}\)
Cho các số thực a, b, c không âm thỏa \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). Tìm GTNN của \(P=\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)
???????????????loằng ngoằng quá. Tui không hỉu cái GTNN
GTNN là tắt của giá trị nhỏ nhất,
Trong bài này bạn biến đổi sao cho biểu thức \(P\ge a\) (số a là số biết trước)
VD: Bạn đưa về dạng nào đó của biểu thức mà nó luôn lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{3}\) Bạn có thể viết \(P\ge\dfrac{1}{3}\) thì GTNN của \(P=\dfrac{1}{3}\) hay \(minP=\dfrac{1}{3}\)
Tìm được GTNN rồi thì bạn tìm ẩn để dấu "=" xảy ra, nghĩa là để BĐT xảy ra dấu =, lúc đó biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất,
VD như: \(minP=\dfrac{1}{3}\) <=> Dấu = xảy ra
<=> x = b (x là ẩn và b là biết trước)
Ở một số bài có thể cho điều kiện của ẩn.
Cho \(a\), \(b\), \(c\) là 3 số thực không âm thỏa mãn: \(a+b+c=3\)
Tìm GTNN của biểu thức: \(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\)
(mong mọi người giúp em bằng cách chứng minh dễ nhất với các bđt quen thuộc vd côsi, bunhia...., trừ khi nếu không thể ạ) Em cảm ơn ạ!
Ta có \(3a+1\ge\left(\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\right)^2\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0\) (luôn đúng)
Do đó \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\).
Tương tự, \(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}b+1;\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}c+1\).
Do đó \(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\ge\sqrt{10}+2\).
Dấu "=" xảy ra khi chẳng hạn a = 3; b = c = 0
Tham khảo:
https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=219071991005&q=Cho%203%20s%E1%BB%91%20th%E1%BB%B1c%20kh%C3%B4ng%20%C3%A2m%20a%2Cb%2Cc%20v%C3%A0%20a%20b%20c%3D3%20T%C3%ACm%20GTLN%20v%C3%A0%20GTNN%20c%E1%BB%A7a%20bi%E1%BB%83u%20th%E1%BB%A9c%20K%3D%5C%28%5Csqrt%7B3a%201%7D%20%5Csqrt%7B3b%201%7D%20%5Csqrt%7B3c%201%7D%5C%29
với a,b,c là các số thực dương thay đổi nhưng luôn thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\)≤3.CMR a+b+c≤3 và từ đó tìm giá trị lớn nhất của tổng
E=\(\dfrac{a}{\sqrt[3]{3a+bc}}+\dfrac{b}{\sqrt[3]{3b+ca}}+\dfrac{c}{\sqrt[3]{3c+ab}}\)
Lời giải:
Theo hệ quả quen thuộc của bđt AM-GM:
$(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\leq 9$
$\Rightarrow a+b+c\leq 3$ (đpcm)
Từ đây ta có:
\(E\leq \frac{a}{\sqrt[3]{(a+b+c)a+bc}}+\frac{b}{\sqrt[3]{(a+b+c)b+ac}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c(a+b+c)+ab}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt[3]{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt[3]{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt[3]{(c+a)(c+b)}}\)
\(\leq \frac{\sqrt[3]{2}}{3}(\frac{a}{2}+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})+\frac{\sqrt[3]{2}}{3}(\frac{b}{2}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c})+\frac{\sqrt[3]{2}}{3}(\frac{c}{2}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b})\)
\(=\frac{\sqrt[3]{2}(a+b+c)}{6}+\frac{\sqrt[3]{2}}{3}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a})\leq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}\)
Vậy.................
1 . )
Cho 3 số a,b,c dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+c+a}+\frac{c}{2c+a+b}\)
2
cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)
với a,b,c là các số thực dương thay đổi nhưng luôn thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\le3\).CMR a+b+c≤3 và từ đó tìm giá trị lớn nhất của tổng
E=\(\dfrac{a}{\sqrt[3]{3a+bc}}+\dfrac{b}{\sqrt[3]{3b+ca}}+\dfrac{c}{\sqrt[3]{3c+ab}}\)
\(3\ge a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow a+b+c\le3\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt[3]{3a+bc}}\le\dfrac{a}{\sqrt[3]{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{\dfrac{a}{a+b}.\dfrac{a}{a+c}.\dfrac{a}{2}}\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{a}{2}\right)\)
Cộng vế và rút gọn:
\(E\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)
\(E\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(3+\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{3\sqrt[3]{2}}{2}\)
Giúp mình bài này với ạ :))
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3a^2+2ca+3a^2}\)
\(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)
giúp mình với ạ =))
Cho các số thực dương a,b, c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a^3+3b}\) + \(\sqrt{b^3+3c}\) + \(\sqrt{c^3+3a}\) ≥ 6
Bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\) \(\left(\forall a,b,c>0\right)\)
chứng minh bổ đề: \(\Sigma_{cyc}\left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right)+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{\left(\Pi_{cyc}\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right).\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}}\)
hoán vị theo a,b,c
ta được: \(3\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{9.\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)
mũ 3 hai vế ta có được bất đẳng thức bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\)
Áp dụng bất C-S:
\(\sqrt{a^3+3b}+\sqrt{b^3+3c}+\sqrt{c^3+3a}\ge\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3+3a+3b+3c\right)}\)
\(\ge\sqrt{3.\left[3+3\left(a+b+c\right)\right]}=\sqrt{36}=6\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn \(a+b+c=4\)
tìm Min, max của biểu thức sau:\(A=\sqrt{2a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{4c+1}\)
helpppppppp
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:\(\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{b^2+3c^2}+\sqrt{c^2+3a^2}\ge6\)
Sửa đề \(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\le6\)
\(\sqrt{a^2+3b}=\sqrt{a^2+\left(a+b+c\right)b}=\sqrt{a^2+ab+b^2+bc}\\ =\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\dfrac{a+b+a+c}{2}=\dfrac{2a+b+c}{2}\)
Cmtt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b^2+3c}\le\dfrac{a+2b+c}{2}\\\sqrt{c^2+3a}\le\dfrac{a+b+2c}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng VTV:
\(\Leftrightarrow VT\le\dfrac{2a+b+c+a+2b+c+a+b+2c}{2}\\ \Leftrightarrow VT\le\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2}=2\left(a+b+c\right)=6\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)