Ta có: 3⁴ = 1 (mod 5)

=>3⁴ⁿ = 1ⁿ (mod 5)

=>3⁴ⁿ.3 = 1.3 (mod 5)

=>3⁴ⁿ⁺¹ = 3 (mod 5)

=>3⁴ⁿ⁺¹+2 = 3+2 (mod 5)

=>P = 0 (mod 5)

Vậy P chia hết cho 5(đpcm)

 "=" là đồng dư nha

ta có 3⁴ⁿ⁺¹+2=3⁴ⁿ x 3 + 2= ...1 x 3 +2=...3+2=...5 chia hết cho 5

vậy p chia hết cho 5(đpcm)

P=3⁴ⁿ⁺¹+2

=3⁴ⁿ.3+2

=(3⁴)ⁿ.3+2

=81ⁿ.3+2

=......1.3+2

=.......3+2

=........5 chia hết cho 5 (đpcm)

Lời giải:

Bổ sung điều kiện $n$ là số tự nhiên khác $0$

Gọi biểu thức trên là $A$. Ta có:
\(7\equiv -1\pmod 4\Rightarrow 7^{2^{4n+1}}\equiv (-1)^{2^{4n+1}}\equiv 1\pmod 4\)

\(4^{3^{4n+1}}\equiv 0\pmod 4\)

\(\Rightarrow A\equiv 1+0-65=-64\equiv 0\pmod 4\)

Vậy $A\vdots 4(*)$

Mặt khác:
Với $n$ là số tự nhiên khác $0$ thì $2^{4n+1}$ chia hết cho $4$ 

$\Rightarrow 7^{2^{4n+1}}=7^{4k}=(7^4)^k\equiv 1\pmod {25}$

$3^{4n+1}=3.81^n\equiv 3\pmod {10}$

$\Rightarrow 3^{4n+1}=10t+3$

$\Rightarrow 4^{3^{4n+1}}=4^{10t+3}=64.(4^{10})^t\equiv 64\pmod {25}$

Do đó:

$A\equiv 1+64-65\equiv 0\pmod {25}$ hay $A\vdots 25(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow A\equiv 0\pmod {100}$

Ta có đpcm.

Bạn có thể gõ lại công thức rõ hơn được không?

Lời giải:
Gọi biểu thức trên là $A$
Dễ thấy:

$3^{2^{4n+1}}$ lẻ, $2^{3^{4n+1}}$ chẵn, $5$ lẻ với mọi $n$ tự nhiên 

Do đó $A$ chẵn hay $A\vdots 2(*)$

Mặt khác:

$2^4\equiv 1\pmod 5\Rightarrow 2^{4n+1}\equiv 2\pmod 5$

$\Rightarrow 2^{4n+1}=5k+2$ với $k$ tự nhiên 

$\Rightarrow 3^{2^{4n+1}}=3^{5k+2}=9.(3^5)^k\equiv 9.1^k\equiv 9\pmod {11}$

Và:

$3^4\equiv 1\pmod {10}\Rightarrow 3^{4n+1}\equiv 3\pmod {10}$

do đó $3^{4n+1}=10t+3$ với $t$ tự nhiên 

$\Rightarrow 2^{3^{4n+1}}=2^{10t+3}=8.(2^{10})^t\equiv 8.1^t\equiv 8\pmod{11}$

Do đó: 

$A\equiv 9+8+5=22\equiv 0\pmod {11}$
Vậy $A\vdots 11(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow A\vdots 22$ (do $(2,11)=1$)

\(A=2^{4n+1}-2\)

\(=2\left(2^{4n}-1\right)\)

\(=2\left(16^n-1\right)\)

\(=2\left(16-1\right)\left(16^{n-1}+16^{n-2}+...+16^0\right)\)

=>\(A⋮\left(16-1\right)\)

=>A chia hết cho 15

đặt A=2^4n+1=16^n nhân 2

16^n đồng dư với 69 (mod 10)

suy ra: 16^n nhân 2 đồng dư với 2 nhân 6=12=2(mod 10)

A : 10 dư 2=10k+2(k thuộc n)

đặt B=3^4n+1

=81^n nhân 3 đồng dư với 1 nhân 3=3(mod 10)

suy ra B:10 dư 3=10p+3(p thuộc N)

ta có 3^2^4n+1+3^3^4n+1+5

=3^10k+2 + 3^10p+3+5

3^10 đồng dư vơí 1(mod 11)

suy ra 3^10k+2 đồng dư với 1 nhân 3^2=9(mod 11)

suy ra 3^10p+3 đồng dư với 1 nhân 3^3=27(mod 11)

5 đồng dư với 5(mod 11)

suy ra 3^2^4n+1 + 3^3^4n+1+5 đồng dư với 9+27+5=41(mod 11)

          gửi bn