chứng minh rằng tổng của hai số tự nhiên bất kỳ chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng các lập phương của chúng chia hết cho 6
Chứng minh rằng tổng của hai số tự nhiên bất kì chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng các lập phương của chúng chia hết cho 6
Gọi 2 số nguyên đó là a ; b
Xét hiệu a3 + b3 - (a + b)
= a3 - a + (b3 - b)
= a(a2 - 1) + b(b2 - 1)
= (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1) \(⋮\)6 ( tổng 2 tích 3 số nguyên liên tiếp)
=> Tổng của hai số tự nhiên bất kì chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng các lập phương của chúng chia hết cho 6 (Đpcm)
Gọi hai số tự nhiên đó là a và b (a,b \(\in\)N) thì :
a3 \(\equiv\)a (mod 6)
b3 \(\equiv\)b (mod 6)
\(\Rightarrow\)a + b \(⋮\)6 \(\Leftrightarrow\)a3 + b3 \(⋮\)6 (đpcm)
Gọi 2 số tự nhiên lần lượt là a ; b
Gọi 2 số lập phương của chúng là a^3 ; b^3
Theo bài ra ta có : \(a+b⋮6\)
CM : \(a^3+b^3⋮6\)
Giải
CM : a^3 - a \(⋮\)6
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a-b=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)\)
vì \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)là 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 ( xếp đúng thứ tự nhé, mình lười _-_ )
mà \(\left(a-1\right)a\)là 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
mà ƯCLN ( 2 ; 3 ) = 1 Vậy ta có đpcm
Chứng minh rằng tổng của hai số tự nhiên bất kì chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng các lập phương của chúng chia hết cho 6
Xét \(a^3+b^3-\left(a+b\right)=a^3-a+b^3-b=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)=\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\)
(a-1)a(a+1) và (b-1)b(b+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp mà tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 6
CM:
+ 3 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 1 số chẵn nên tích của chúng chia hết cho 2
+ Nếu \(a⋮3\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)
+ Nếu a chia 3 dư 1\(\Rightarrow\left(a-1\right)⋮3\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)
+ Nếu a chia 3 dư 2\(\Rightarrow\left(a+1\right)⋮3\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)
=> (a-1)a(a+1) đồng thời chia hết cho 2 và 3 nên nó chia hết cho 2.3=6 với mọi a
Từ kết quả chứng minh trên
\(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮6\) và \(\left(b-1\right)b\left(b+1\right)⋮6\) \(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(b-1\right)b\left(b+1\right)⋮6\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-\left(a+b\right)⋮6\)
Mà \(a^3+b^3⋮6\Rightarrow\left(a+b\right)⋮6\)
a) Nếu tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tích của chúng có chia hết cho 2 không.
b) Chứng tỏ rằng với hai số tự nhiên bất kỳ khi chia cho m có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho m và ngược lại.
c) Chứng tỏ rằng với 6 số tự nhiên bất kỳ luôn có ít nhất hai số tự nhiên mà hiệu của chúng chia hết cho 5.
d) Chứng tỏ rằng tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
e) Chứng tỏ rằng tổng của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
g) Cho 4 số tự nhiên không chia hết chia hết cho 5 , khi chia cho 5 được những số dư kháu nhau . Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 5.
h) Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 còn chia 9 thì dư 1.
nhìn cái tên của m đã thấy ức chế r, thằng sỉ nhục tổ quốc!!!
Chứng minh rằng:
a) Tổng các lập phương của hai số nguyên chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng hai số nguyên đó chia hết cho 6
b) Tổng các lập phương của ba số nguyên chia hết cho 6 khi và chi khi tổng ba số nguyên đó chia hết cho 6
Chứng minh rằng tổng các lập phương của hai số nguyên chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng của hai số nguyên đó chia hết cho 6
GIÚP MIK VỚI
そちそらみきみらにそちにきにかなにのくらみきくにいな
Gọi 2 số đó lần lượt là a ; b (a,b \(\inℤ\))
Xét hiệu (a3 + b3) - (a + b)
= (a3 - a) + (b3 - b)
= a(a2 - 1) + b(b2 - 1)
= (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1)
Vì a ; b \(\inℤ\)=> (a - 1)a(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp
=> Tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 3 , mà (2,3) = 1
=> (a - 1)a(a + 1) \(⋮\)6
Tương tự (b - 1)b(b + 1) \(⋮\)6
=> (a3 + b3) - (a + b) \(⋮\)6
=> ĐPCM
Gọi 2 số nguyên là \(a,b\)( \(a,b\inℕ\))
Tổng các lập phương của 2 số nguyên là \(a^3+b^3\)
Tổng của 2 số nguyên đó là \(a+b\)
Xét hiệu ta có: \(\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)\)
\(=a^3+b^3-a-b=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)\)
\(=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)\)
Vì \(a\), \(a-1\), \(a+1\)là 3 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮2\)và \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮3\)
mà \(\left(2;3\right)=1\)\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)
Chứng minh tương tự: \(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\)
\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\)
\(\Rightarrow\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)⋮6\)(1)
+) Ta chứng minh \(a^3+b^3⋮6\)\(\Rightarrow a+b⋮6\)
Thật vậy, nếu \(a^3+b^3⋮6\)thì từ (1) \(\Rightarrow a+b⋮6\)( đpcm )
+) Ta chứng minh \(a+b⋮6\)\(\Rightarrow a^3+b^3⋮6\)
Thật vậy, nếu \(a+b⋮6\)thì từ (1) \(\Rightarrow a^3+b^3⋮6\)( đpcm )
Như vậy ta luôn có: \(a^3+b^3⋮6\)\(\Leftrightarrow a+b⋮6\)( đpcm )
a) Chứng minh rằng mỗi số và lũy thừa bậc 3 của chúng có cùng số dư trong phép chia cho 3.
b) Chứng minh rằng tổng của 2 số tự nhiên chia hết cho 6 khi và chỉ tổng lập phương của chúng chia hết cho 6.
GIÚP MÌNH NHA ! MÌNH ĐANG CẦN RẤT GẤP ! MÌNH HỨA SẼ TICK CHO BẠN ĐẦU TIÊN
Chứng tỏ rằng:
a. Trong 3 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có thể chọn được hai số sao cho tổng của chứng chia hết cho 2.
b. Nếu hai số tự nhiên a và b (a>b) khi chia cho số tự nhiên m có cùng số dư thì a-b chia hết cho m.
c. Trong 6 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có thể chọn được hai số sao cho hiệu của chúng chia hết cho 5.
Chứng minh rằng: Trong 6 số tư nhiên bất kỳ luôn tìm được 2 số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 9
tham khảo câu hỏi tương tự nha bạn
thao khảo trong câu hỏi tương tự nha bạn có một số dạng như vậy đó nhiên
Chứng minh rằng trong 52 số tự nhiên bất kỳ, bao giờ cũng tìm được hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100.
Học sinh hư! Học sinh hư!!! tran thi quynh huong