Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: \(1+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{1.a^3.b^3}=3ab\).

Vì \(a\ge0\),\(b\ge0\),\(c\ge0\),áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương a,b,c ta có

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(c+a\ge2\sqrt{ac}\)

Nhân từng vế bđt trên =>đpcm

\(\text{có:}\frac{k}{n}+\frac{n}{k}\ge2\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2\sqrt{\frac{k}{n}}.\sqrt{\frac{n}{k}}+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{k}{n}}-\sqrt{\frac{n}{k}}\right)^2\ge0\forall k,n>0\)

\(\left(a+b\right).\left(b+c\right).\left(c+a\right)\ge8abc\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+ac+b^2+bc\right).\left(a+c\right)\ge8abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+abc+abc+ac^2+b^2c+bc^2\ge8abc\)

\(\Leftrightarrow2+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\ge8\)

\(\Leftrightarrow2+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge8\)(luôn đúng với mọi a,b,c >=0)

sửa dòng đầu: \(k,n\ge0\)

Lời giải:

Ta có:

$P^2=2+2(a+b)+2\sqrt{(1+2a)(1+2b)}=2+2+2\sqrt{1+2(a+b)+4ab}$

$=4+2\sqrt{3+4ab}$

Vì $a,b\geq 0$ nên $\sqrt{3+4ab}\geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow P^2\geq 4+2\sqrt{3}$

$\Rightarrow P\geq \sqrt{3}+1$
Vậy $P_{\min}=\sqrt{3}+1$. Giá trị này được khi $(a,b)=(1,0)$ và hoán vị.

Biến đổi tương đương:

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) (1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)

\(\Leftrightarrow2a+2b-a-2\sqrt{ab}-b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) luôn đúng

=> (1) đúng

Dấu "=" xảy ra khi a = b

Ta có: ( √a - √b)² ≥ 0 ( voi moi a , b ≥ 0 ) 
<=> a - 2√ab + b ≥ 0 
<=> a + b ≥ 2√ab 
<=> (a + b)/2 ≥ √ab 
dau "=" xay ra khi √a - √b = 0 <=> a = b

BĐT tương đương :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Ta có :

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( với mọi a , b )

Vậy ..............

Ta có: \(A=\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\)

\(\Leftrightarrow A+4=\frac{a-d}{d+b}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{c+a}+1+\frac{c-a}{a+d}+1\)

\(\Leftrightarrow A+4=\frac{a+b}{d+b}+\frac{d+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+d}{a+d}\)

\(\Leftrightarrow A+4=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{d+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{xy}\)với mọi x,y>0 

Ta có: \(A+4\ge\frac{4\left(a+b\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(d+c\right)}{a+b+c+d}\)

\(A+4\ge\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4\)

\(A\ge0\)(dpcm)

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$2A=2x^2y^2(x^2+y^2)=xy.[2xy(x^2+y^2)]\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2.\left(\frac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2$

$\Leftrightarrow 2A\leq \frac{(x+y)^6}{16}=\frac{1}{16}$

$\Rightarrow A\leq \frac{1}{32}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{32}$. Giá trị này đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$

Vì \(a,b,c\ge0\)Nên ta nhân a+b+c vào hai vế của bất đẳng thức :

Ta được:\(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{c}\ge9\)

\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)-9\ge0\)⁽²⁾

Lại có \(ab\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) 

Tương tự:\(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)⁽¹⁾

Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow3+2+2+2-9\ge0\)(luôn đúng)

Vậy..........................................................................................

Dấu "=" <=> a=b=c

Nếu như tớ làm đúng thì bạn k cho tớ với nhé!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Thanks bạn trước! 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng engel , ta có 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c 

Áp dụng bđt cô si cho bộ số a,b,c >0

a+b+c>=3 * với căn bậc 3 của abc

1/a+1/b+1/c>=3 * căn bậc 3 của 1/abc

Nhân 2 vế đựợc (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9

=> đề bài (đpcm)