Tham khảo:

Nhận xét rằng một số nguyên dương không thể chia 33 dư 22 nên nếu nn không chia hết cho 33 thì một trong hai số n+1,2n+1n+1,2n+1 có một số chia 3 dư 2 nên vô lý. Vậy n⋮3n⋮3. (1)(1)

Có 2n+12n+1 là một chính phương lẻ nên 2n+12n+1 chia 88 dư 11 nên nn chẵn nên n+1n+1 cũng là số chính phương lẻ nên n+1n+1 chia 88 dư 11 nên nn chia hết cho 88. (2)(2)

Từ (1),(2)(1),(2) có n⋮24n⋮24.

Vì 2 n - 1 là số chính phương . Mà 2n - 1 lẻ

\(\Rightarrow2n+1=1\left(mod8\right)\)

=> n \(⋮\) 4

=> n chẵn

=> n+1 cũng là số lẻ

\(\Rightarrow n+1=1\left(mod8\right)\)

=> n \(⋮\) 8

Mặt khác :

\(3n+2=2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)+\left(2n+1\right)=2\left(mod3\right)\)

Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ

\(\Rightarrow n+1=2n+1=1\left(mod3\right)\)

=> n chia hết cho 3

Mà ( 3 ; 8 ) = 1

=> n chia hết cho 24

Vì n + 1 và 2n + 1 đêu là phân số chính phương nên đặt n+1 = k\(^2\), 2n+1 = m\(^2\)( k, m \(\in\) N)

Ta có m là số lẻ => m = 2a+1 =>m\(^2\)= 4a(a+1)+1

=>n=\(\frac{m^2-1}{2}\)=\(\frac{4a\left(a+1\right)}{2}\)=2a(a+1)

=> n chẵn =>n+1 là số lẻ =>k lẻ =>Đặt k = 2b+1 (Với b \(\in\) N) =>k\(^2\)=4b(b+1)+1

=> n=4b(b+1) =>n \(⋮\)8 (1)

Ta có k\(^2\) + m\(^2\) =3n+2=2 ( mod3)

Mặt khác k\(^2\) chia 3 dư 0 hoặc 1 ,m\(^2\)chia 3 dư 0 hoặc 1

Nên để k\(^2\)+m\(^2\) =2 (mod3) thì k\(^2\) = 1(mod3)

m\(^2\) = 1 (mod3)

=>m\(^2\)-k\(^2\)\(⋮\)3 hay (2n+1)-(n+1) \(⋮\)3 =>n \(⋮\) 3

Mà (8;3)=1

Từ (1) ; (2) và (3) => n \(⋮\) 24

mod3

Ai làm jup vs ạ

Nhận xét rằng một số nguyên dương không thể chia 33 dư 22 nên nếu nn không chia hết cho 33 thì một trong hai số n+1,2n+1n+1,2n+1 có một số chia 3 dư 2 nên vô lý. Vậy n⋮3n⋮3. (1)(1)

Có 2n+12n+1 là một chính phương lẻ nên 2n+12n+1 chia 88 dư 11 nên nn chẵn nên n+1n+1 cũng là số chính phương lẻ nên n+1n+1 chia 88 dư 11 nên nn chia hết cho 88. (2)(2)

Từ (1),(2)(1),(2) có n⋮24

cuộc đời sao lắm dèm pha 

đi đâu cũng gặp lâu la thế này

Nhận xét rằng một số nguyên dương không thể chia 33 dư 22 nên nếu nn không chia hết cho 33 thì một trong hai số n+1,2n+1n+1,2n+1 có một số chia 3 dư 2 nên vô lý. Vậy n⋮3n⋮3. (1)(1)

Có 2n+12n+1 là một chính phương lẻ nên 2n+12n+1 chia 88 dư 11 nên nn chẵn nên n+1n+1 cũng là số chính phương lẻ nên n+1n+1 chia 88 dư 11 nên nn chia hết cho 88. (2)(2)

Từ (1),(2)(1),(2) có n⋮24n⋮24.

Nhận xét rằng một số nguyên dương không thể chia 33 dư 22 nên nếu nn không chia hết cho 33 thì một trong hai số n+1,2n+1n+1,2n+1 có một số chia 3 dư 2 nên vô lý. Vậy n⋮3n⋮3Có 2n+12n+1 là một chính phương lẻ nên 2n+12n+1 chia 88 dư 11 nên nn chẵn nên n+1n+1 cũng là số chính phương lẻ nên n+1n+1 chia 88 dư 11 nên nn chia hết cho 88. (2)(2)

Từ (1),(2)(1),(2) có n⋮24n⋮24.

Lời giải:

Đặt $n+1=a^2$ và $2n+1=b^2$ với $a,b$ là số tự nhiên.

Vì $2n+1$ lẻ nên $b^2$ lẻ. SCP lẻ chia $4$ dư $1$ nên $2n+1$ chia $4$ dư $1$

$\Rightarrow 2n\vdots 4$

$\Rightarrow n\vdots 2$

$\Rightarrow n+1=a^2$ lẻ. Ta biết SCP lẻ chia $8$ dư $1$ nên $n+1=a^2$ chia $8$ dư $1$

$\Rightarrow n\vdots 8(1)$

Mặt khác:

Nếu $n$ chia 3 dư $1$ thì $n+1$ chia $3$ dư $2$ (vô lý vì 1 SCP chia 3 dư 0 hoặc 1)

Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $2n+1$ chia $3$ dư $2$ (cũng vô lý)

Do đó $n$ chia hết cho $3(2)$ 

Từ $(1);(2)$ mà $(3,8)=1$ nên $n\vdots 24$ (đpcm)

Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên 

n+1≡1(mod8)⇒n⋮8n+1≡1(mod8)⇒n⋮8

Lại có

3n+2≡2(mod3)3n+2≡2(mod3)

Suy ra

n+1≡2n+1≡1(mod3)n+1≡2n+1≡1(mod3)

Do đó

Giả sử: n+1=a²

2n+1=b²

Vì 2n+1 lẻ

=> b²:8 dư 1

=> 2n \(⋮\)8

=> n chẵn

=> a²:8 dư 1

=> n

GS: n+1= a²

2n+1=b²

=>2n chia hết cho 8

=> n chẵn

=> a² chia 8 dư 1

=> n chia hết cho 8

a²+b²=3n+2

Vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1

Mà 3n+2 chia 3 dư 2

=> b² và a² chia 3 dư 1

=> n chia hết cho 3

Mà [3,8]=1=> n chia hết cho 24

tui chưa học

Ta có: 2n+1 là số chính phương lẻ (do n tự nhiên)

nên 2n+1 chia 8 dư 1

=> 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4

=> n+1 lẻ

Mà n+1 là số chính phương

=> n+1 chia 8 dư 1

=> n chia hết cho 8 (1)

Giả sử n không chia hết cho 3

Vì n+1 là số chính phương nên chia 3 dư 1 hoặc chia hết cho 3

=> n chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2 

Mà n không chia hết cho 3

=> n chia 3 dư 2

=> 2n+1 chia 3 dư 2 (vô lý vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1)

=> giả sử sai

=> n chia hết cho 3 (2)

Mặt khác : BCNN (8,3)=24 (3)

Từ (1)(2)(3) => n chia hết cho 24

$2n+1$ là số chính phương nên $2n+1 \equiv 0;1(mod3)$
Với $2n+1 \equiv 0 (mod 3)$ mà $n \equiv 0;2 (mod 3)$ do $n+1$ là scp nên ta loại
Với $2n+1 \equiv 1 (mod 3)$ hay $2n \equiv 0(mod3)$

Hay $n \equiv 3$

$2n+1 \equiv 1 (mod 8)$ nên $2n \equiv 0 (mod 8)$

suy ra $n \vdots 4$
$n+1 \equiv 1 (mod8)$

Nên $n \vdots 8$

$n \vdots 3$

$(8;3)=1$ nên $n \vdots 24$ hay $n$ là bội của 24