a) Ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)( chia 2 vế cho 2 )

b) \(\frac{a+1}{a}\)chưa lớn hơn hoặc bằng 2 đc , bạn thay a=2 vào thì 3/2<2

c) Ta có \(x^2\ge0\);\(y^2\ge0\);\(z^2\ge0\)

nên \(x^2+y^2+z^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge3\)

Ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)

\(a^3-b^3=\left(a-b\right).\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3-b^3=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3-b^3=a^3-b^3\)

\(\Rightarrow\)\(đpcm\)

\(a^3+b^3=\left(a+b\right).\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3=a^3+b^3\)

\(\Rightarrow\)\(đpcm\)

\(a^2-b^2=\left(a-b\right).\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2-b^2=a^2+ab-ab-b^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2-b^2=a^2-b^2\)

\(\Rightarrow\)\(đpcm\)

Theo hình vẽ taco:

AC=BC,MA=MB ( giả thiết )

MC chung

=> ΔAMC = Δ BMC ( c.c.c)

=> góc M1 = góc M2

Nhưng Góc M1 + M2 = 180 độ

nên: M1 =M2 = 90 độ

Do đó CM vuông góc vs AB

*Thêm vào đề: M là trung điểm AB*

- Hai đường tròn (A),(B) có cùng bán kính và cắt nhau tại C

\(\Rightarrow CA=CB\) hay Tam giác CAB cân tại C.

- Mà M là trung điểm của AB

=> CM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.

\(\Rightarrow CM\perp AB\)

Ta có hai cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính

suy ra AC=CB

suy ra ΔABC cân tại C

Mà M là trung điểm AB

 vậy CM⊥AB

Chắc như vầy quá: Do \(\hept{\begin{cases}a>2\\b>2\end{cases}}\Rightarrow\left(a-2\right)\left(b-2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow ab-2a-2b+2>0\Leftrightarrow ab>2\left(a+b-1\right)\) (chuyển vế và đặt 2 làm thừa số chung)

Ta cần c/m: \(2\left(a+b-1\right)>a+b\Leftrightarrow2a+2b-2-a-b>0\)

\(\Leftrightarrow a+b-2>0\).Điều này hiển nhiên đúng do a,b > 2 nên a + b > 4

Suy ra \(a+b-2>4-2=2>0\)

Do đó bài toán đã được chứng minh.

Mình nghĩ có cách này đúng hơn thì phải (cách kia không chắc lắm chứ cách này thì chắc rồi):

\(a>2;b>2\Rightarrow\frac{1}{a}< \frac{1}{2};\frac{1}{b}< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}< \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)

Hay \(\frac{a+b}{ab}< 1\Leftrightarrow a+b< ab\) 

Vậy ta có điều phải chứng minh.

\(ab>a+b\Leftrightarrow ab-a-b>0\Leftrightarrow a\left(b-1\right)-b>0\)

Cộng 1 vào cả 2 vế của BĐT \(a\left(b-1\right)-b>0\) ta được:

\(a\left(b-1\right)-b+1>1\)

\(\Leftrightarrow a\left(b-1\right)-\left(b-1\right)>1\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)>1\)

Mà \(a>b,b>2\) nên \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)>1\) luôn đúng \(\forall a,b>2.\)