\(xy+yz+zx=8xyz\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=8\)

\(\Rightarrow\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}=64\)

Ta có: \(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}\)

\(=\left(\dfrac{1}{x}+...+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\left(\dfrac{1}{y}+...+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)+\left(\dfrac{1}{z}+...+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

(sau dấu chấm là bốn số tương tự).

\(\ge^{Cauchy-Schwarz}\dfrac{8^2}{6x+y+z}+\dfrac{8^2}{6y+z+x}+\dfrac{8^2}{6z+x+y}\)

\(\Rightarrow64\ge\dfrac{8^2}{6x+y+z}+\dfrac{8^2}{6y+z+x}+\dfrac{8^2}{6z+x+y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{6x+y+z}+\dfrac{1}{6y+z+x}+\dfrac{1}{6z+x+y}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{8}\)

Vậy \(Max\) của biểu thức đã cho là 1.

\(x^2-xy+y^2=\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-xy+y^2}\ge\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)\)

Tương tự: \(\sqrt{y^2-yz+z^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)\); \(\sqrt{z^2-zx+x^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(z+x\right)\)

Cộng vế:

\(Q\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)+\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)+\dfrac{1}{2}\left(z+x\right)=x+y+z=3\) (đpcm)

Ta có: \(\left(x-\sqrt{yz}\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow x^2=yz\))

Theo đề: x + y + z = 3\(\Rightarrow3x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=x^2+yz+x\left(y+z\right)\)\(\ge x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}\)

Suy ra \(\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}}=\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

và \(x+\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự ta có: \(\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\);\(\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng từng vế của các BĐT trên,ta được:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\)\(+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\)\(+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))

We have:

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\Sigma_{cyc}\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\Sigma_{cyc}\frac{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}}{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+1}\)

Dat \(\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}};\frac{y}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}};\frac{z}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\right)=\left(a;b;c\right)\)

Consider:

\(\Sigma_{cyc}\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\Sigma_{cyc}\frac{\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}}{2}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow a+b+c\le\frac{3}{2}\)

Now we need to prove:

\(\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{a+1}\ge2\left(M\right)\)

\(VT_M\ge\frac{9}{a+b+c+3}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}+3}=2\)

Sign '=' happen when \(\hept{\begin{cases}x=y=z=1\\a=b=c=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

theo BĐT Bunhiacopski ta có:

\(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{\left(x+y+z\right)\cdot x+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại:

\(LHS\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=1

Theo bất đẳng thức Cô-Si cho ba số dương \(x^2+2\sqrt{x}=x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}=3x.\)

Vậy ta có \(x^2+2\sqrt{x}\ge3x.\)     Tương tự  \(y^2+2\sqrt{y}\ge3y,\) và    \(z^2+2\sqrt{z}\ge3z.\)  Cộng các bất đẳng thức lại ta được

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge3\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)^2\)  . Suy ra

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\ge xy+yz+zx.\)    (ĐPCM)

Theo bất đẳng thức Cô-Si cho 3 số \(x^2+2\sqrt x=x^2+\sqrt x+\sqrt x\ge 3\sqrt[3]{x^2\sqrt x\sqrt x}=3x.\) Tương tự, ta cũng có \(y^2+2\sqrt y\ge3y,z^2+2\sqrt z\ge3z.\) Cộng lại ta được \(x^2+y^2+z^2+2\sqrt x+2\sqrt y+2\sqrt z\ge3(x+y+z)=(x+y+z)^2\). Từ đây khai triển bình phương vế phải sẽ được \(2(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)\ge 2(xy+yz+zx).\) Do đó ta có điều phải chứng minh.