Ta có:

2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = 1024¹⁰

10³⁰ = (10³)¹⁰ = 1000¹⁰

Vì 1024¹⁰ > 1000¹⁰ nên 2¹⁰⁰ > 10³⁰ (1)

Lại có:

2¹⁰⁰ = 2³¹.2⁶³.2⁶ = 2³¹.512⁷.64

và 10³¹ = (2.5)³¹ = 2³¹.5³¹ = 2³¹.5²⁸.5³ = 2³¹.625⁷.125

Vì 2³¹.512⁷.64 < 2³¹.625⁷.125 nên 2¹⁰⁰ < 10³¹ (2)

Từ (1) và (2) => 2¹⁰⁰ viết trong hệ thập phân có 31 chữ số

Vậy số 2¹⁰⁰ viết trong hệ thập phân có 31 chữ số (đpcm)

1=101 số

Để ý rằng 4^5 = 1024 nên ta có : 10^3 < 4^5 < 11.10^2 
---> 10^15 < 4^25 < (11^5).10^10 < 200000.10^10 = 2.10^15 
---> 10^30 < 4^50 < 4.10^30 < 10^31 ---> 4^50 có 31 chữ số. 
---> 4^50 = m.10^30 (với 1 < m < 4) 

Lại để ý rằng (4^50)(25^50) = 100^50 = 10^100 
---> 25^50 = 10^100 / 4^50 = (10.10^99) / (m.10^30) = (10/m).10^69 
Vì 1 < m < 4 ---> 2,5 < 10/m < 10 
---> 25^50 = (10/m).10^69 có 70 chữ số. 
---> Đáp án bài này là 31 + 70 = 101 chữ số. 
 

k cho mình nhé chép mạng đó

Để ý rằng 4^5 = 1024 nên ta có : 10^3 < 4^5 < 11.10^2 
---> 10^15 < 4^25 < (11^5).10^10 < 200000.10^10 = 2.10^15 
---> 10^30 < 4^50 < 4.10^30 < 10^31 ---> 4^50 có 31 chữ số. 
---> 4^50 = m.10^30 (với 1 < m < 4) 

Lại để ý rằng (4^50)(25^50) = 100^50 = 10^100 
---> 25^50 = 10^100 / 4^50 = (10.10^99) / (m.10^30) = (10/m).10^69 
Vì 1 < m < 4 ---> 2,5 < 10/m < 10 
---> 25^50 = (10/m).10^69 có 70 chữ số. 
---> Đáp án bài này là 31 + 70 = 101 chữ số. 

+) 95 < 100 => 95⁸ < 100⁸ = (10²)⁸ = 10¹⁶  (*)

+) Xét tỉ số: \(\frac{95^8}{10^{15}}=\frac{95^8.10}{10^{16}}=\left(\frac{95}{100}\right)^8.10\)

Ta có: \(\left(\frac{95}{100}\right)^8>\left(\frac{90}{100}\right)^8=\left(\frac{9}{10}\right)^8>\frac{9}{10}.\frac{8}{9}.\frac{7}{8}...\frac{2}{3}=\frac{2}{10}>\frac{1}{10}\)

=> \(\frac{95^8}{10^{15}}=\left(\frac{95}{100}\right)^8.10>\frac{1}{10}.10=1\)

=> 95⁸ > 10¹⁵    (**)

(*)(**) =>  10¹⁵ < 95⁸ < 10¹⁶ 

=> 95⁸ là số có 16 chữ số

Em có cách làm khác:

Giải.Số tự nhiên nhỏ nhất có 16 chữ số là 10¹⁵,số tự nhiên nhỏ nhất có 17 chữ số là 10¹⁶.Ta cần chứng minh rằng :

                                                  10¹⁵<95⁸<10¹⁶

Dễ thấy 95⁸<100⁸=10¹⁶,còn phải chứng minh 10¹⁵<98⁵.Bất đẳng thức này tương ứng với\(\frac{10^{15}}{95^8}

cô ơi cah của em có dúng ko?

ta có: \(10^{29}< 96^{15}< 100^{15}=10^{30}\)

=> \(96^{15}\)có 30 chữ số trong hệ thập phân

Tham khảo bài của https://olm.vn/thanhvien/vocaloid_miku

Ta có \(2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}>1000^{10}=\left(10^3\right)^{10}=10^{30}\).

Ta chứng minh \(2^{100}< 10^{31}\Leftrightarrow\dfrac{1024^{10}}{1000^{10}}< 10\).

Ta có \(\dfrac{1024^{10}}{1000^{10}}< \dfrac{1025^{10}}{1000^{10}}=\left(\dfrac{41}{40}\right)^{10}\).

Dễ thấy \(\dfrac{41}{40}< \dfrac{40}{39}< ...< \dfrac{32}{31}\Rightarrow\left(\dfrac{41}{40}\right)^{10}< \dfrac{41}{40}.\dfrac{40}{39}...\dfrac{32}{31}=\dfrac{41}{31}< 10\Rightarrow\dfrac{1024^{10}}{1000^{10}}< 10\).

Do đó \(2^{100}\) viết trong hệ thập phân có 31 chữ số.

1. 

a) \(3^{23}< 5^{15}\)

b) \(127^{23}< 128^{23}=\left(2^7\right)^{23}=2^{161}\)

\(513^{18}>512^{18}=\left(2^9\right)^{18}=2^{162}\)

Vì \(162>161\Rightarrow2^{161}< 2^{162}\Rightarrow127^{23}< 513^{18}\)

2. Ta có: 

\(5^{27}=5^{3.9}=\left(5^3\right)^9=125^9< 128^9=2^{7.9}=\left(2^7\right)^9=2^{63}\)

\(\Rightarrow5^{27}< 2^{63}\left(1\right)\)

Lại có: \(2^{63}< 2^{64}=2^{16.4}=\left(2^{16}\right)^4=65536^4< 78125^4=5^{7.4}=\left(5^7\right)^4=5^{28}\)

\(\Rightarrow2^{63}< 2^{64}< 5^{28}\Rightarrow2^{63}< 5^{28}\left(2\right)\)

Từ 1 và 2 => đpcm

Cần chứng minh rằng \(10^{30}< 2^{100}< 10^{31}\)

Dễ dàng chứng minh được \(10^{30}< 2^{100}\). Còn \(2^{100}< 10^{31}\Leftrightarrow\frac{2^{100}}{10^{30}}< 10\)

Ta có: \(\frac{2^{100}}{10^{30}}=\left(\frac{1024}{1000}\right)^{10}< \left(\frac{1025}{1000}\right)^{10}=\left(\frac{41}{40}\right)^{10}< \frac{40}{39}.\frac{39}{38}...\frac{32}{31}.\frac{31}{30}=\frac{4}{3}< 10\)