Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có :

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (1)

\(\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\) (2)

\(\dfrac{c+a}{2}\ge\sqrt{ca}\) (3)

Cộng từng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được :

\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Mở rộng cho bốn số a, b, c, d không âm, ta có bất đẳng thức :

\(a+b+c+d\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}\)

Mở rộng cho năm số a, b, c, d, e không âm, ta có bất đẳng thức : \(a+b+c+d+e\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{de}+\sqrt{ea}\)

áp dụng BĐT AM-GM với 2 số không âm

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)

cộng các vế của BĐT ta có

\(2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)

chia cả hai vế của BĐT cho 2 ta có đpcm

áp dụng bất đẳng thức cô- si, ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)  \(\left(1\right)\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)  \(\left(2\right)\)

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng (1),(2),(3) vế theo vế, ta được:

\(2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Dấu " = " xảy ra <=> \(a=b=c\)

Ta co:

\(a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\le\frac{ab+ca}{2}+\frac{bc+ab}{2}+\frac{ca+bc}{2}=ab+bc+ca\)

Suy ra BDT can phai chung minh la:

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(dung)

Dau '=' xay khi \(a=b=c\)

Lời giải:

Bạn cứ nhớ công thức $\sqrt{x^2}=|x|$, rồi dùng điều kiện đề bài để phá dấu trị tuyệt đối là được

a)

\(\sqrt{16a^2}-5a=\sqrt{(4a)^2}-5a=|4a|-5a=4a-5a=-a\)

b)

\(3x+2-\sqrt{9x^2+6x+1}=3x+2-\sqrt{(3x)^2+2.3x.1+1^2}\)

\(=3x+2-\sqrt{(3x+1)^2}=3x+2-|3x+1|=3x+2-(3x+1)=1\)

c)

\(\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{7}=\sqrt{7+1+2.\sqrt{7}.\sqrt{1}}-\sqrt{7}\)

\(=\sqrt{(\sqrt{7}+1)^2}-\sqrt{7}=|\sqrt{7}+1|-\sqrt{7}=\sqrt{7}+1-\sqrt{7}=1\)

d)

\(\sqrt{14-2\sqrt{13}}+\sqrt{14+2\sqrt{13}}=\sqrt{13+1-2\sqrt{13}}+\sqrt{13+1+2\sqrt{13}}\)

\(=\sqrt{(\sqrt{13}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{13}+1)^2}=|\sqrt{13}-1|+|\sqrt{13}+1|\)

\(=\sqrt{13}-1+\sqrt{13}+1=2\sqrt{13}\)

e)

\(2x-\sqrt{4x^2-4x+1}=2x-\sqrt{(2x-1)^2}=2x-|2x-1|=2x-(2x-1)=1\)

g)

\(|x-2|+\frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{x-2}=|x-2|+\frac{\sqrt{(x-2)^2}}{x-2}=|x-2|+\frac{|x-2|}{x-2}\)

\(=(x-2)+\frac{(x-2)}{x-2}=x-2+1=x-1\)

i don not no

câu này đơn giản quá, ko thích hợp vs người đẳng cấp như anh dây đâu

câu này ai giải đc cho tui 10000

Biểu thức không có giá trị min bạn nhé. Chỉ có giá trị max.

Lời giải:
\(2P=1-\frac{a}{a+2\sqrt{bc}}+1-\frac{b}{b+2\sqrt{ca}}+1-\frac{c}{c+2\sqrt{ab}}\)

\(=3-\left(\frac{a}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{b}{b+2\sqrt{ac}}+\frac{c}{c+2\sqrt{ab}}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{a}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{b}{b+2\sqrt{ac}}+\frac{c}{c+2\sqrt{ab}}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{a+2\sqrt{bc}+b+2\sqrt{ac}+c+2\sqrt{ab}}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}=1\)

Do đó: $2P\leq 3-1=2\Rightarrow P\leq 1$

Vậy $P_{\max}=1$ khi $a=b=c$

Bài 1:

\(BDT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{3}{a+2b}}+\sqrt{\frac{3}{b+2c}}+\sqrt{\frac{3}{c+2a}}\le\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2b}}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+2\right)\left(a+2b\right)}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a+2b}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có: 

\(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{b+2c}};\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{c+2a}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(3\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge3\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Bài 2: làm mãi ko ra hình như đề sai, thử a=1/2;b=4;c=1/2

Bài 2/

\(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\)

\(=\frac{b^2c^2}{a^2b^2c+a^2c^2b}+\frac{c^2a^2}{b^2c^2a+b^2a^2c}+\frac{a^2b^2}{c^2a^2b+c^2b^2a}\)

\(=\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{c^2a^2}{bc+ba}+\frac{a^2b^2}{ca+cb}\)

\(\ge\frac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)

\(\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu =  xảy ra khi \(a=b=c=1\)

bạn alibaba dòng thứ nhất rồi sao ra được dòng thứ hai á bạn mình k hiểu

áp dụng bất đẳng thức cô si cho:

*a+b≥\(2\sqrt{ab}\)

*b+c≥\(2\sqrt{bc}\)

*c+a≥\(2\sqrt{ca}\)

➩2(a+b+c)≥2(\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\))

➩ĐPCM

Ta có:

\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\Leftrightarrow2a+2b+2c\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt[]{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)

(luôn đúng với mọi a,b,c không âm)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)