a, Áp dụng định lý Pitago:

`AB^2  + AC^2 = BC^2`

`=> 25 + AC^2 = 169`

`=> AC^2 = 144`

`=> sqrt 144  = 12`.

b. Áp dụng định lý Pytago ta có:

`AB^2 + AC^2 = BC^2`

`16 + 49 = BC^2`

`BC^2 = 65`

`BC  = sqrt 65`.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ABC vuông tại A

AC = BC² + AB²

       = 13² + 5²    

        ^{= \(\sqrt{194}\)  = 14 cm}

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ABC cân tại A

BC = AB²  + AC²

       = 4²  + 7²  

       = \(\sqrt{65}\) = 8 cm

a: AC-BC<AB<AC+BC

=>5<AB<8

mà AB>6

nên AB=7cm

b: AB-AC<BC<AB+AC

=>2<BC<14

mà BC<4

nên BC=3cm

Ta có: AB = 3 ⇒ A B 2 = 3 2  = 9

AC = 4 ⇒ A C 2 = 4 2  = 16

BC = 5 ⇒  B C 2 = 5 2  = 25

Ta có:  A B 2 + A C 2  = 9 + 16 = 25 =  B C 2

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Ta có:

b) Ta có: AN+NB=AB(N nằm giữa A và B)

nên AB=9+10,5=19,5(cm)

Xét ΔABC có 

N\(\in\)AB(gt)

M\(\in\)AC(gt)

MN//BC(gt)

Do đó: \(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AM}{AC}\)(Định lí Ta lét)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{19.5}=\dfrac{AM}{8.5}\)

\(\Leftrightarrow AM=\dfrac{9\cdot8.5}{19.5}=\dfrac{51}{13}cm\)

Vậy: \(AM=\dfrac{51}{13}cm\)

Theo tính chất tia phân giác và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Từ BE//AC nên chứng minh được DABE cân tại B Þ BE = 4cm

Hình vẽ: 

Xét \(\Delta ACH\left(\widehat{H}=90^0\right)\)có: 

\(AC^2=AH^2+HC^2\)( định lý py-ta-go )

\(\Rightarrow5^2=4^2+HC^2\)

\(\Rightarrow HC^2=5^2-4^2\)

\(\Rightarrow HC^2=25-16\)

\(\Rightarrow HC^2=9\)

\(\Rightarrow HC=\sqrt{9}\)

\(\Rightarrow HC=3cm\)

Ta có: \(BH+HC=9cm\)

mà \(HC=3cm\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow BH=9-3=6cm\)

Xét \(\Delta AHB\left(\widehat{H}=90^0\right)\)có:
\(AB^2=AH^2+BH^2\)( định lý py-ta-go )

\(\Rightarrow AB^2=4^2+6^2\)

\(\Rightarrow AB^2=16+36\)

\(\Rightarrow AB^2=52\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{52}cm\)

Vậy độ dài cạnh AB là \(\sqrt{52}cm\)

Kẻ BH vuông góc với AC tại H.

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta được:

\(BH=sinA\cdot AB=sin60^0.4=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(AH=cosA.AB=cos60^0.4=2\left(cm\right)\)

Suy ra BH = 3(cm).

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác BHC vuông tại H, ta được:

\(BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}\left(cm\right)\)

Vậy BC = \(\sqrt{21}\)(cm)

Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác AHC vuông tại H có :

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=AC^2-HC^2\)

\(\Leftrightarrow AH=\sqrt{5^2-4^2}=3\left(cm\right)\)

Áp dung hệ thức lượng vào tam giá ABC vuông tại A , ta có :

+) \(AH^2=BH.HC\)

\(\Leftrightarrow9=BH.4\)

\(\Leftrightarrow BH=\frac{9}{4}\left(cm\right)\)

+) \(AB^2=AH.BH\)

\(\Leftrightarrow AB^2=\left(4+\frac{9}{4}\right).\frac{9}{4}=\frac{225}{16}\left(cm\right)\)

+) \(BC=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}\left(cm\right)\)