Để giải bài toán này, ta sử dụng hai công thức sau:

Quãng đường chuyển động của vật rơi tự do: S = 5t²
Vận tốc của vật rơi tự do: V = 9,8t
Để tìm thời điểm vận động viên phải bật dù, ta cần tính thời gian mà vận động viên rơi từ độ cao 3970m đến cách mặt đất 845m:

Đầu tiên, ta tính quãng đường rơi của vận động viên: 3970 m - 845 m = 3125 m

Sau đó, ta sử dụng công thức quãng đường chuyển động của vật rơi tự do để tính thời gian rơi của vận động viên từ độ cao 3125m: S = 5t² 3125 = 5t² t² = 625 t = 25 giây

Vậy sau 25 giây từ lúc bắt đầu nhảy, vận động viên phải bật dù.

Để tính vận tốc rơi của vận động viên tại thời điểm cách mặt đất 845m, ta sử dụng công thức vận tốc của vật rơi tự do:

V = 9,8t

Ta thấy được rằng tại thời điểm cách mặt đất 845m, thời gian rơi của vận động viên là: S = 5t² 845 = 5t² t² = 169 t = 13 giây

Vậy sau 13 giây từ lúc bắt đầu nhảy, vận động viên cách mặt đất 845m và vận tốc rơi của vận động viên là: V = 9,8t = 9,8 x 13 = 127,4 (m/s)

Vậy sau 13 giây từ lúc bắt đầu nhảy, vận tốc rơi của vận động viên là 127,4 (m/s).

a, Quãng đường vật đã rơi tại thời điểm t = 2s sau khi thả vật đó là:

\(s\left(2\right)=0,81\cdot2^2=3,24\left(m\right)\)

b, Ta có: \(s'\left(t\right)=1,62t\Rightarrow s''\left(t\right)=1,62\)

Gia tốc của vật đã rơi tại thời điểm t = 2s sau khi thả vật đó là: 

\(a\left(2\right)=s''\left(2\right)=1,62\left(m/s^2\right)\)

Lời giải:
a) Sau \(\frac{1}{2}\) giây quả ổi cách ngọn cây một đoạn chính bằng quãng đường mà quả ổi chuyển động trong $t=\frac{1}{2}$ giây, đó là: \(S=4,9t^2=4,9.(\frac{1}{2})^2\approx 1,2\) (m)

b)

Quãng đường quả ổi chuyển động từ ngọn cây đến mặt đất là:
\(S=5\)

\(\Leftrightarrow 4,9t^2=5\)

\(\Leftrightarrow t^2=\frac{5}{4,9}=\frac{50}{49}\Rightarrow t=\sqrt{\frac{50}{49}}\approx 1(s)\), tức là sau khoảng 1s thì quả ổi chạm mặt đất.

a)

\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {5;5,1} \right]}\end{array}:t = 5,1 \Rightarrow \frac{{s\left( t \right) - s\left( 5 \right)}}{{t - 5}} = \frac{{4,9.5,{1^2} - 4,{{9.5}^2}}}{{5,1 - 5}} = 49,49\\\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {5;5,05} \right]}\end{array}:t = 5,05 \Rightarrow \frac{{s\left( t \right) - s\left( 5 \right)}}{{t - 5}} = \frac{{4,9.5,{{05}^2} - 4,{{9.5}^2}}}{{5,05 - 5}} = 49,245\\\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {5;5,01} \right]}\end{array}:t = 5,01 \Rightarrow \frac{{s\left( t \right) - s\left( 5 \right)}}{{t - 5}} = \frac{{4,9.5,{{01}^2} - 4,{{9.5}^2}}}{{5,01 - 5}} = 49,049\\\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {5;5,001} \right]}\end{array}:t = 5,001 \Rightarrow \frac{{s\left( t \right) - s\left( 5 \right)}}{{t - 5}} = \frac{{4,9.5,{{001}^2} - 4,{{9.5}^2}}}{{5,001 - 5}} = 49,0049\\\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {4,999;5} \right]}\end{array}:t = 4,999 \Rightarrow \frac{{s\left( t \right) - s\left( 5 \right)}}{{t - 5}} = \frac{{4,9.4,{{999}^2} - 4,{{9.5}^2}}}{{4,999 - 5}} = 48,9951\\\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {4,99;5} \right]}\end{array}:t = 4,99 \Rightarrow \frac{{s\left( t \right) - s\left( 5 \right)}}{{t - 5}} = \frac{{4,9.4,{{99}^2} - 4,{{9.5}^2}}}{{4,99 - 5}} = 48,951\end{array}\)

Ta thấy: \(\frac{{s\left( t \right) - s\left( 5 \right)}}{{t - 5}}\) càng gần 49 khi \(t\) càng gần 5.

b)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{s\left( t \right) - s\left( 5 \right)}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{4,9{t^2} - 4,{{9.5}^2}}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{4,9\left( {{t^2} - {5^2}} \right)}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{4,9\left( {t - 5} \right)\left( {t + 5} \right)}}{{t - 5}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} 4,9\left( {t + 5} \right) = 4,9\left( {5 + 5} \right) = 49\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{4,9{t^2} - 4,9.t_0^2}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{4,9\left( {{t^2} - t_0^2} \right)}}{{t - t_0^2}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{4,9\left( {t - {t_0}} \right)\left( {t + {t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} 4,9\left( {t + {t_0}} \right) = 4,9\left( {{t_0} + {t_0}} \right) = 9,8{t_0}\end{array}\)

a) + Sau 1 giây, vật chuyển động được: s(2) = 4.22 = 16m

Vậy vật cách mặt đất: 100 – 4 = 96 (m).

     + Sau 2 giây, vật chuyển động được:  s ( 2 )   =   4 . 2 2   =   16 m

Vậy vật cách mặt đất: 100 – 16 = 84 (m).

b) Vật tiếp đất khi chuyển động được 100m

⇔   4 t 2   =   100     ⇔   t 2   =   25     ⇔   t   =   5 .

Vậy vật tiếp đất sau 5 giây.

+ Sau 1 giây, vật chuyển động được: s(1) = 4.12 = 4m.

Vậy vật cách mặt đất: 100 – 4 = 96 (m).

     + Sau 2 giây, vật chuyển động được: s(2) = 4.22 = 16m

Vậy vật cách mặt đất: 100 – 16 = 84 (m).

a)

Vận tốc rơi của viên sỏi lúc `t=2`:

$v(2) = 9,8 \cdot 2 = 19.6 , \text{m/s}$

b)

Khi viên sỏi chạm đất, quãng đường rơi sẽ bằng độ cao ban đầu:

$s(t) = 4.9t^2 = 44.1$

Giải phương trình trên, ta có:

$t^2 = \frac{44.1}{4.9}$
$t \approx 3,0 \text{giây}$

$v(3.0) = 9,8 \cdot 3,0 = 29,4 \text{m/s}$

Vậy vận tốc của viên sỏi khi chạm đất là $29,4 \text{m/s}$.

a: v(t)=s'(t)=4,9*2t=9,8t

Khi t=2 thì v(2)=9,8*2=19,6(m/s)

b: Quãng đường đi được là 44,1m

=>4,9t^2=44,1

=>t=3

Khi t=3 thì v(3)=9,8*3=29,4(m/s)

\(v\left(t\right)=s'\left(t\right)=4.9\cdot2t=9.8t\)

\(a\left(t\right)=v'\left(t\right)=9.8\)

Khi t=3 thì a(3)=9,8