Lời giải:

$n^4+3n^3+4n^2+3n+1=(n+1)^2(n^2+n+1)$

Nếu đây là scp thì $n^2+n+1$ cũng phải là scp

Đặt $n^2+n+1=t^2$ với $t$ tự nhiên 

$\Leftrightarrow 4n^2+4n+4=(2t)^2$

$\Leftrightarrow (2n+1)^2+3=(2t)^2$

$\Leftrightarrow 3=(2t-2n-1)(2t+2n+1)$

$\Rightarrow 2t+2n+1=3; 2t-2n-1=1$

$\Rightarrow n=0$ (trái giả thiết)

Vậy có nghĩa là $n^2+n+1$ không là scp với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow n^4+3n^3+4n^2+3n+1$ không là scp với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

Ta có đpcm.

+)Đặt A = n⁴+8n³+17n²+4n+6
    =>  A= (n²+4n)²+(n+2)²+2>0
    =>  A> (n²+4n)² 
+)Xét với n = 0 => A= 6 (không thỏa mãn)
Xét hiệu B=(n²+4n+1)²-A
                =n⁴+16n²+1+8n³+2n²+8n-n⁴-8n³-17n²-4n-6
                =n²+4n-5
                =(n+2)²-9
TH1:B≤0 <=> -5≤n≤1 hay n∈{-5,-4,-3,-2,-1,1} vì n khác 0(cmt)
ta có A=(n²+4n)²+(n+2)²+2= n²(n+4)²+(n+2)²+2
Vì A là số chính phương nên A≡ 0,1(mod4)và A≡0,1,4(mod 5)
Ta xét với n≡0 (mod 4)=> A≡0+4+2≡2 (mod4) => loại
                 n≡ 1 (mod 4)=> A≡ 25+ 9+2≡0 (mod4) => chọn
 cmtt với n≡3(mod 4)=>A≡0(mod 4)=> chọn
               n≡ 2(mod 4) => A≡2(mod4) => loại
Ta xét tiếp với mod 5 với n≡ 0,1,2,3,4 thì chỉ có n≡ 0,1 thỏa mãn
=> n ∈{-5,1}
Từ đây ta thay với n= -5 hay 1 thì (n+2)²-9=0
=>B=0 và A=(n²+4n+1)²
=> n∈{1,-5}
TH2: B>0=> (n²+4n)<A<(n²+4n+1)²
              => không tồn tại số chính phương A
Vậy để n⁴ + 8n³ + 17n² + 4n + 6 là số chính phương thì n∈{1,-5}

Đặt\(13+3=y^2\left(y\in N\right)\)\(\Rightarrow13\left(n-1\right)=y^2-16\Leftrightarrow13\left(n-1\right)\left(y+4\right)\left(y-4\right)\)

\(\Rightarrow\left(y+4\right)\left(y-4\right)\)chia hết cho 13 mà 13 là số nguyên tố nên \(\left(y+4\right)\)chia hết cho 13 hoặc (y-4) chia hết cho 13

=>  \(y=13k+-4\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow13\left(n-1\right)=\left(13k+-4\right)^2-16=13k\left(13k+-8\right)\)

\(\Rightarrow13k^2+-8k+1\)

Vậy \(n=13k^2+-8k+1\left(k\in N\right)\)thì \(13n+3\)là số chính phương.

1+1=22222222222222 1^*(6₫3&&

Mình không biết câu dưới 

n=1 để 13n+3=13.1+3=16=4^2

câu này đăng lâu rồi nhưng chưa có câu trả lời nào đúng nhất nhỉ! Vậy thì đây nhé.Trích nguồn từ thi học sinh giỏi 8
13n+3=k^2
=) 13n-13+16=k^2 
=) 13(n-1)=k^2-16=(k-4).(k+4)
=) k-4 hoặc k+4 sẽ chia hết cho 13 
hay k = 13k +- 4 . Chỗ này là 13k-4 hoặc 13k+4 nhé. Ghi cả +- vào ( cộng trên,trừ dưới )
Vậy thay k vào sẽ có luôn :
13(n-1)=13k(13k+-8) =) n-1=k.(13k+-8) = 13k^2+-8k
=) n = 13k^2 +- 8k ( n đc viết dưới dạng như vậy )
Vậy bất kì n có dạng như trên thì 13n+3 là số chính phương nhé

n = 1 

thì 13.1 + 3 = 16 = 4²

n=1 để 13n+3=13.1+3=16=4^2

n=1 để 13.1+3=16=4^2

chết nhầm, số chính phương mà mk nhầm là số nguyên tố!!!! hhi, xl ha!

tìm số tự nhiên n biết 13n+3= số chính phương

-6;(-1);5