Chọn A

Chọn đáp án A

Vì \(AM\) là tia phân giác góc \(A\left( {M \in BC} \right)\) nên theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{BM}}{{CM}} = \frac{{AB}}{{AC}};\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{CM}}{{AC}};\frac{{CM}}{{BM}} = \frac{{AC}}{{AB}};\frac{{AC}}{{CM}} = \frac{{AB}}{{BM}}\).

a) Vì \(BE//AD\) nên \(\widehat {EBA} = \widehat {BAD}\) (cặp góc so le trong)  (1)

Vì \(BE//AD\) nên \(\widehat {BEA} = \widehat {DAC}\) (cặp góc đồng vị)   (2)

Vì \(AD\) là tia phân giác nên \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\) (tính chất)  (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {AEB}\) (tính chất bắc cầu)

Xét tam giác \(BAE\) có:

\(\widehat {EBA} = \widehat {AEB}\) (chứng minh trên)

Nên tam giác \(BAE\) cân tại \(A\).

b) Vì \(BE//AD\) nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}}\).

Mà tam giác \(BAE\) cân tại \(A\) nên \(AE = AB \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (định lí Thales)

Do đó, \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (điều phải chứng minh).

a: AD//BE

=>góc CAD=góc CEB và góc BAD=góc ABE

mà góc CAD=góc BAD

nên góc CEB=góc ABE

=>ΔBAE cân tại A

b: ΔBAE cân tại A

=>AB=AE

=>AB/AC=AE/AC

mà AE/AC=BD/DC(ΔCEB có AD//BE)

nên AB/AC=AE/AC=DB/DC

a) Theo bài ra ta có:\(\frac{AE}{EC}=\frac{3}{4}\)=> \(\frac{AE}{EC+AE}=\frac{3}{4+3}\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{3}{7}\)

Xét ΔABC có DE//BC => \(\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{3}{7}\) (hệ quả đ/lí Ta-lét)

=> DE = \(\frac{3}{7}BC=\frac{3}{7}.28=12\left(cm\right)\)

b) Xét ΔABC có DE//BC => \(\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}\) (đ/lí Ta-lét)

Mà \(\frac{AD}{BD}=\frac{EC}{AE}\left(gt\right)\) => \(\frac{AE}{EC}=\frac{EC}{AE}\) (=\(\frac{AD}{BD}\))

=>AE²=EC² => AE = EC

=> E là trung điểm của AC.

Xét ΔABC có: DE//BC ; E là trung điểm của AC (cmt)

=> D là trung điểm của AB

Chúc bạn học tốt!

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: 

\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\left(1\right)\)

\(\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}\left(2\right)\)

\(\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\frac{DB}{DC}\cdot\frac{EC}{AE}\cdot\frac{FA}{FB}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{BC}{BA}\cdot\frac{CA}{CB}=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{AC\cdot BA\cdot CB}=1\)

=> ĐPCM

Nguồn: SGK

AD,BE,CF không là các đường phân giác vẫn đúng,miễn sao chúng đồng quy là OK ! 

Đây thực chất là chứng minh định lý Xê - va, không chỉ áp dụng cho ba đường phân giác, mà còn là ba đường trung tuyến, ba đường cao, ba đường đồng quy xuất phát từ ba đỉnh,...

Bạn tham khảo thêm cách chứng minh ở bài 206a) sách NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIẾN TOÁN 8 của tác giả VŨ HỮU BÌNH nhé!