cho \(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\left(b>0,d>0\right)\)chứng minh rằng \(\frac{c}{d}< \frac{c+a}{d+b}< \frac{a}{b}\). Từ đó suy ra giữa 2 số hữu tỉ x>y bao giờ cũng có vô số số hữu tỉ.
HELP ME~~~, trả lời nhanh mk tick
Cho a/b >c/d (b,d > 0). Chứng minh rằng: c/d<c+a/d+b<a/b. Từ đó suy ra giữa 2 số hữu tỉ x > y bao giờ cũng có vô số số hữu tỉ
a)a/b > c/d (b > 0, d > 0). Chứng minh rằng c/d < c + a/d + b. Từ đó suy ra giữa hai số hữu tỉ x > y bao giờ cũng có vô số số hữu tỉ.
b) Tìm 5 số hữu tỉ lớn hơn 1/2004 đồng thời nhỏ hơn 1/2003
Cho a/b<c/d với b,d<0. Chứng tỏ rằng a/b<(a+b)/(c+d)<c/d
(Từ đó suy ra giữa 2 sô hữu tỉ x<y bao giờ cũng có vô số các số hữu tỉ)
cho a/b > c/d ( b>0, d>0)
cmr:
c/d < c+a/d+b < a/b.
từ đó suy ra giữa 2 số hữu tỉ x>y bao giờ cũng có vô số số hữu tỉ khác
a, Chứng tỏ rằng nếu \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\left(b>0,d>0\right)thì\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
b, Hãy viết 3 số hữu tỉ xen giữa \(-\frac{1}{3}và-\frac{1}{4}\)
Khỏi làm ra cũng được, vì cách làm mình biết rồi, nhưng mà nhìn vô thì ko hiểu, ai giúp mình hiểu từng lời giải của BT này với
a/ Xét : \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow ab+ad< ab+bc\Rightarrow ad< bc\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) (đúng)
\(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Rightarrow ad+cd< bc+cd\Rightarrow ad< bc\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) (đúng)
Vậy ta có đpcm
b/ Giả sử các số cần tìm là \(-\frac{1}{3}< x< y< z< -\frac{1}{4}\)
Tìm các số dựa theo ý a)
+ CM \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
Ta có:\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}=>ad< bc\) (vì b> 0 , d > 0)
=> ad + ab < bc + ab
=> a(b + d) < b(a+c)
=> \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(đpcm\right)\) (1)
+ CM \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) => ad < bc
=> ad + cd < bc + cd
=> d(a+c) < c(b+d)
=> \(\frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}\left(đpcm\right)\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (Với \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) )
b) Viết 3 phân số xen giữa \(-\frac{1}{3}\) và \(-\frac{1}{4}\): -3/10 ; -2/7; -3/11
Bài 1: Các câu sau, câu nào đúng,câu nào sai?
a) Mọi số hữu tỉ dương đều lớn hơn 0
b) Nếu a là số hữu tỉ âm thì a là số tự nhiên
c) Nếu a là số tự nhiên thì a là số hữu tỉ âm
d) 0 là số hữu tỉ dương
Bài 2: Cho 2 số hữu tỉ a/b và c/d với b,d>0
Chứng minh: Nếu \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) thì \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Vận dụng: Viết 2 số xen giữa 2 số hữu tỉ -1/5 và 1/5
Bài 1: Các câu sau, câu nào đúng,câu nào sai?
a) Mọi số hữu tỉ dương đều lớn hơn 0 Đ
b) Nếu a là số hữu tỉ âm thì a là số tự nhiên S
c) Nếu a là số tự nhiên thì a là số hữu tỉ âm S
d) 0 là số hữu tỉ dương S
a/b < c/d => ad < cb
=> ad + ab < bc + ab
=> a ( d+b) < b ( a +c)
=> a/b < a+ c/d +b (1)
* a/b < c/d => ad < cb
=> ad + cd < cb + cd
=> d ( a +c) < c ( b+d)
=> c/d > a + c/b + d (2)
Từ (1) và (2) => a/b < a+c/b + d < c/d
B1 Chứng minh rằng
a)cho a,b,c=0 và a;b;c khác 0
Cmt \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\left(\right)\)/\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)/
b) cho a=b+c và a;b;c là các số hữu tỉ khác 0
Cmr\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}+\)là 1 số hữu tỉ
c) cho a;b;c là các số hữu tỉ khác 0
Cmr √1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(c-a)^2 là 1 số hữu tỉ (dấu căn kéo dài hết ạ
d) cho a;b;c là 3 số hữu tỉ Tm ab-ba+ca=1
Cmr A= √(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) là 1 số hữu tỉ (dấu căn kéo dài hết ạ)
Giúp mình với !!
Lời giải:
Bạn chú ý lần sau gõ đề bài bằng công thức toán. Việc gõ đề thiếu/ sai/ không đúng công thức khiến người sửa rất mệt.
a) Theo hằng đẳng thức đáng nhớ:
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-\left(\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}\right)}\)
\(\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-\frac{2(a+b+c)}{abc}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-0}\) (do $a+b+c=0$)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|\)
b) Theo điều kiện đề bài:
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2c^2}}=\sqrt{\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{b^2+c^2+2bc}{b^2c^2}-\frac{2}{bc}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{(b+c)^2}+(\frac{b+c}{bc})^2-\frac{2}{bc}}=\sqrt{(\frac{1}{b+c}-\frac{b+c}{bc})^2}=\left|\frac{1}{b+c}-\frac{b+c}{bc}\right|\)
Vì \(a,b,c\in\mathbb{Q}\Rightarrow \)\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{b+c}-\frac{b+c}{bc}\right|\in\mathbb{Q}\)
Ta có đpcm.
Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}và\frac{c}{d}\left(b>0,d>0\right)\)chứng tỏ rằng
a)Nếu \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)thì ad <bc
b)Nếu ad < bc thì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
a) \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\) (quy đồng mẫu chung)
Vì b,d > 0 nên bd > 0. Do đó ad < bc (đpcm)
b) ad < bc \(\Leftrightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\) (cùng chia cho bd)
Vì b,d > 0 nên bd > 0. Do đó \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) (rút gọn tử và mẫu)
a, Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{cb}{db}\Rightarrow ad< cb\)
b, Ta có: \(ad< bc\Rightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
Bài 1:Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng :
\(\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^4}{\left(c+d\right)\left(c^2+d^2\right)}+\frac{d^4}{\left(d+a\right)\left(d^2+a^2\right)}\ge\frac{a+b+c+d}{4}\)
Bài 2:Cho \(a>0,b>0,c>0\).\(CM:\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Bài 3: a) Cho x,y,>0. CMR:\(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\)
b) Chứng minh rằng\(\Sigma\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
3a biến đổi tí là xong
b tuong tự bài 1