Bài làm

a) Vì AH vuông góc với BC

=> Tam giác AHC vuông ở H.

=> \(\widehat{HAC}+\widehat{C}=90^0\)                                 (1) 

Vì HN vuông góc với AC

=> Tam giác HNC vuông ở N

=> \(\widehat{NHC}+\widehat{C}=90^0\)                             (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{HAC}=\widehat{NHC}\)

Xét tam giác AHN và tam giác ACH có:

\(\widehat{ANH}=\widehat{HNC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{HAC}=\widehat{NHC}\)

=> Tam giác AHN ~ tam giác ACH ( g - g )

b) Xét tam giác AHB vuông ở H,

Theo định lí Thales có:

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

Hay \(15^2=12^2+HB^2\)

\(\Rightarrow225=144+HB^2\)

\(\Rightarrow HB^2=81\)

\(\Rightarrow HB=9\left(cm\right)\)

Xét tam giác AHC vuông ở H có:

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

hay \(13^2=12^2+HC^2\)

\(\Rightarrow169=144+HC^2\)

\(\Rightarrow HC^2=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=5\left(cm\right)\)

Ta có: HB + HC = BC

hay 9 + 5 = BC

=> BC = 14 ( cm )

_____ + H₂O --> H₂SO₄

CuCl₂ + NaOH --> NaCl + ____

N₂O₅ + H2O --> _____

H₂ + ___ --> Cu + ___

Fe + ____ --> FeSO₄ + H₂

BaCl₂ + AgNO₃ --> _____ + _____

____ + ____ --> Al₂O₃

CuO + ___ --> Cu + CO₂

KMnO₄ --> ____ + ____ + _____

Tam giác AHN đồng dạng với tam giác ACH ( tự chứng minh )

\(\Rightarrow\frac{AH}{AC}=\frac{AN}{AH}\Rightarrow AH^2=AN.AC\left(1\right)\)

 tam giác AHB đồng dạng với tam giác AMH ( Tự chứng minh )

\(\Rightarrow\frac{AH}{AM}=\frac{AB}{AH}\Rightarrow AH^2=AB.AM\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra AB.AM = AN.AC

\(\Rightarrow\frac{AC}{AB}=\frac{AM}{AN}\)

Xét tam giác AMN và tam giác ACB có:

\(\widehat{MAN}\)chung 

\(\frac{AM}{AN}=\frac{AC}{AB}\left(cmt\right)\)

Suy ra tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB ( c-g-c )

b) Áp dụng định lý PITAGO tính ra BH và CH 

rồi tiếp tục tính tiếp BC 

- bạn ơi

- Chứng minh ngay luôn hộ mình để mình còn gửi bài cho cô nè. mình không có time đâu bạn

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

hay \(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN và ΔACB có

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

\(\widehat{MAN}\) chung

Do đó: ΔAMN\(\sim\)ΔACB

Lời giải:
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AM.AB=AH^2$
$AN.AC=AH^2$

$\Rightarrow AM.AB=AN.AC$ (đpcm)

b.

Vì $AM.AB=AN.AC\Rightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{AC}{AB}$

Xét tam giác $AMN$ và $ACB$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\frac{AM}{AN}=\frac{AC}{AB}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle AMN\sim \triangle ACB$ (c.g.c)

Ta có đpcm.

Hình vẽ:

Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.

M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành

\(\Rightarrow NC//BH\)

Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O ) 

Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)

M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC

Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :

\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng

gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD

Đường thẳng ME cắt NF tại S

Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )

Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)

Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)

\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )

\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)

Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )

Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)

Bài 4: