\(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5...\sqrt{1998\sqrt{1999\sqrt{2000}}}}}}}\) nhỏ hơn 3
Tính
1) \(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{1999\sqrt{1998}+1998\sqrt{1999}}\)
2) \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{1998}+\sqrt{1999}}\)
1) Có nhận xét sau:
\(\frac{1}{a\sqrt{a+1}+\left(a+1\right)\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{a+1}\right)}=\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\sqrt{a^2+a}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}}.\)Do đó biểu thức có giá trị bằng: \(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+..-\frac{1}{\sqrt{1999}}=1-\frac{1}{\sqrt{1999}}.\)
2) Có nhận xét sau:
\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}=\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{a+1}\right)\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a}.\) Thay vào biểu thức ta được biểu thức
có giá trị bằng: \(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{1999}-\sqrt{1998}=\sqrt{1999}-1.\)
c/m:\(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5\sqrt{6\sqrt{7\sqrt{8.....\sqrt{1999\sqrt{2000}}}}}}}}}< 3\)
Có cách giải nhưng t ko chắc đâu nhá;) đã bảo đưa dạng a, b, c rồi mà cứ đưa dạng này-_-
\(VT< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5\sqrt{6....}}}}}=x>0\) (vô hạn dấu căn). Ta sẽ chứng minh x < 3
Ta thấy \(x^2=\sqrt{2}.x\Rightarrow x\left(x-\sqrt{2}\right)=0\Rightarrow x=\sqrt{2}< 3\Rightarrow\text{đpcm }\)
\(x^2=2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5....\sqrt{2000}}}}ma?\)
link tha khảo
link : https://olm.vn/hoi-dap/detail/69408192260.html
hok tốt
Tính \(A=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{1999\sqrt{1998}+1998\sqrt{1999}}\)
Bạn áp dụng \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)với n = 1, 2 , 3 , ... , 1999
so sánh các căn thức sau
a) \(\sqrt{3}-3\sqrt{2}\) và \(-4\sqrt{3}+5\sqrt{2}\)
b) \(3-2\sqrt{3}\) và \(2\sqrt{6}-5\)
c) \(\sqrt{1998}+\sqrt{2000}\) và 2\(\sqrt{1999}\)
d) \(\sqrt{1992}-\sqrt{1991}\) và \(\sqrt{1991}-\sqrt{1990}\)
So sánh: Sqrt (1998) + sqrt (2000) và 2*sqrt (1999)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}< \sqrt{\frac{a+b}{2}}\)
\(\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right)^2< \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}< \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}< 2\left(a+b\right)\Leftrightarrow-\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)< 0\Leftrightarrow-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< 0\)(luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Áp dụng : \(\frac{\sqrt{1998}+\sqrt{2000}}{2}< \sqrt{\frac{1998+2000}{2}}=\sqrt{1999}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1998}+\sqrt{2000}< 2.\sqrt{1999}\)
Phần chứng minh bất đẳng thức bạn ghi thêm điều kiện a,b > 0 nhé
Tính
N=\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{1999\sqrt{1998}+1998\sqrt{1999}}\)
giúp mình với
tính:A=\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2000\sqrt{1999}+1999\sqrt{2000}}\)
\(\frac{1}{n\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\left(n+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}\)
sau đó tách ra là ok
Chứng minh:\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{1999\sqrt{1998}}< 2\)<2
I : Tính
\(D=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+......+\frac{1}{\sqrt{1999}+\sqrt{2000}}\)
help me !!!
D = \(\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}\)+\(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}\)+\(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}\)+...+\(\frac{\sqrt{1999}-\sqrt{2000}}{1999-2000}\) (liên hợp)
= -1 +\(\sqrt{2}\) -\(\sqrt{2}\) +\(\sqrt{3}\) -\(\sqrt{3}\) +\(\sqrt{4}\) -... -\(\sqrt{1999}\) +\(\sqrt{2000}\)
= \(\sqrt{2000}\)-1