Chứng minh rằng : nếu \(2.\left(x+y\right)=5.\left(y+z\right)=3.\left(z+x\right)\) thì \(\frac{x-y}{4}=\frac{y-2}{5}\)
Chứng minh rằng nếu: \(2\left(x+y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(z+x\right)\) ) thì \(\frac{x-y}{4}=\frac{y-z}{5}\)
77. Chứng minh rằng nếu: \(2\left(x+y\right)=5\left(y+x\right)=3\left(z+x\right)\) thì \(\frac{x-y}{4}=\frac{y-z}{5}\)
\(2\left(x+y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{\frac{1}{2}}=\frac{y+z}{\frac{1}{5}}=\frac{z+x}{\frac{1}{3}}=\frac{x+y-z-x}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\frac{z+x-y-z}{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y-z}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\frac{x-y}{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}\Rightarrow\frac{y-z}{\frac{1}{6}}=\frac{x-y}{\frac{2}{15}}\)
\(\Rightarrow6\left(y-z\right)=\frac{15\left(x-y\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(y-z\right)=\frac{5\left(x-y\right)}{2}\)
Nhân cả hai vế với \(\frac{1}{10}\) ta có:
\(\frac{2\left(y-z\right)}{10}=\frac{5\left(x-y\right)}{20}\Leftrightarrow\frac{y-z}{5}=\frac{x-y}{4}\)(ĐPCM)
làm thì không biết đúng không mà chắc cugx được nhưng dài khi mô đi học đưa giấy cho chứ ghi trên này mỏi lắm
(Croatia 2004) Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Động não tí đi Quỳnh, a thấy bài này cũng không khó.
Bài dễ mừ, có phải Croatia thật ko vậy :)) (viết đề bị nhầm, là x,y,z dương chứ :))
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số:
\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\)
\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\left(y+x\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\)
Xét \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{4}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z, Xong! :))
Chứng minh rằng nếu \(2\left(x.y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(z+x\right)\)thì \(\frac{x-y}{4}=\frac{y-z}{5}\)
...Trả lời giúp nha, mình like cho
Bài 1: Chứng minh rằng nếu : \(2\left(x+y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(z+x\right)\))thì \(\frac{x-y}{4}=\frac{y-z}{5}\)
Bài 2 : Cho b2 =ac . Chứng minh rằng \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\)
Bài 1:
\(2\left(x+y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(z+x\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2\left(x+y\right)}{30}=\frac{5\left(y+z\right)}{30}=\frac{3\left(z+x\right)}{30}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y}{15}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{10}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{z+x}{10}=\frac{y+z}{6}=\frac{\left(z+x\right)-\left(y+z\right)}{10-6}=\frac{x-y}{4}\left(1\right)\)
\(\frac{x+y}{15}=\frac{z+x}{10}=\frac{\left(x+y\right)-\left(z+x\right)}{15-10}=\frac{y-z}{5}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{x-y}{4}=\frac{y-z}{5}\) (đpcm)
Bài 2:
\(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\left(1\right)\)
Ta lại có: \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\) (đpcm)
Chứng minh rằng: \(\frac{x^2-y^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\frac{y^2-z^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{z^2-x^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}=\frac{x-y}{x+y}+\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-x}{z+x}\)
1Cho biết a+b+c=2p
CMR: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p}=\frac{abc}{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
2 Cho x,y,z khác 0 và x+y+z=2008
Tính giá trị biểu thức P= \(\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}\)\(+\frac{z^3}{\left(z-y\right)\left(z-x\right)}\)
33 Chứng minh rằng nếu x+y+z=0 thì
2(x5+y5+z5)=5xyz(x2+y2+z2)
Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng:
\(\left(\frac{x}{x+y}\right)^2+\left(\frac{y}{y+z}\right)^2+\left(\frac{z}{z+x}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương thỏa mãn xyz=1
Chứng minh rằng \(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Em thử ạ!Em không chắc đâu.Hơi quá sức em rồi
Ta có: \(VT=\Sigma\frac{x^3}{z+y+yz+1}=\Sigma\frac{x^3}{z+y+\frac{1}{x}+1}\)
\(=\Sigma\frac{x^4}{xz+xy+1+x}=\frac{x^4}{xy+xz+x+1}+\frac{y^4}{yz+xy+y+1}+\frac{z^4}{zx+yz+z+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,suy ra:
\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)+3}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2+3}\) (áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3};ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))
Đặt \(t=x+y+z\ge3\sqrt{xyz}=3\) Dấu "=" xảy ra khi x = y = z
Ta cần chứng minh: \(\frac{\frac{t^4}{9}}{\frac{2}{3}t^2+t+3}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow\frac{t^4}{9\left(\frac{2}{3}t^2+t+3\right)}=\frac{t^4}{6t^2+9t+27}\ge\frac{3}{4}\)(\(t\ge3\))
Thật vậy,BĐT tương đương với: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)
\(\Leftrightarrow3t^4-18t^2-27t+t^4-81\ge0\)
Ta có: \(VT\ge3t^4-18t^2-27t+3^4-81\)
\(=3t^4-18t^2-27t\).Cần chứng minh\(3t^4-18t^2-27t\ge0\Leftrightarrow3t^4\ge18t^2+27t\)
Thật vậy,chia hai vế cho \(t\ge3\),ta cần chứng minh \(3t^3\ge18t+27\Leftrightarrow3t^3-18t-27\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(t^3-27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+9\right)\ge0\)
BĐT hiển nhiên đúng,do \(t\ge3\) và \(3t^2+9t+9=3\left(t+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\ge\frac{9}{4}>0\)
Dấu "=" xảy ra khi t = 3 tức là \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\xyz=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Chứng minh hoàn tất
Em sửa chút cho bài làm ngắn gọn hơn.
Khúc chứng minh: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)
\(\Leftrightarrow4t^4-18t^2-27t-81\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(4t^3+12t^2+18t+27\right)\ge0\)
BĐT hiển nhiên đúng do \(t\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}t-3\ge0\\4t^3+12t^2+18t+27>0\end{cases}}\)
Còn khúc sau y chang :P Lúc làm rối quá nên không nghĩ ra ạ!
Áp dụng BĐT cosi ta có
\(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+z}{8}+\frac{1+y}{8}\ge\frac{3}{4}x\)
\(\frac{y^3}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+z}{8}\ge\frac{3}{4}y\)
\(\frac{z^3}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+x}{8}\ge\frac{3}{4}z\)
Khi đó
\(VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\)
Mà \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
=> \(VT\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1