Người ta ghép ba hình tam giác đều với độ dài cạnh là a với vị trí như Hình 31.
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
b) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân.
c) Tính diện tích của tứ giác ACDE theo a.
Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của AB. Vẽ trung tuyến AD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua H
a/. Chứng minh AEBD là hình chữ nhật.
b/. Tứ giác ACDE là hình bình hành.
c/. Chứng minh diện tích tứ giác AEBD bằng diện tích tam giác ABC.
d/. Tìm điều kiện của tam giác ABC để AEBD là hình vuông.
Bạn tự vẽ hình nhé.
a.
Xét tứ giác AEBD có:
AH = HB (H là trung điểm của AB)
HE = HD (vì E và D đối xứng với nhau qua H)
=> AEBD là hình bình hành.
Lại có: \(\widehat{ADB}=90^o\) (AD là đường trung tuyến của tam giác cân ABC)
Từ trên suy ra: AEBD là hình chữ nhật.
b.
Vì AEBD là hình chữ nhật nên ta có:
- AE // BD và AE = BD (1)
mà: BC // AE và BD = DC (2)
Từ (1), (2) suy ra: ACDE là hình bình hành.
c.
có: \(S_{AEBD}=AD.DB=\dfrac{1}{2}.AD.BC=S_{ABC}\)
d.
Để AEBD là hình vuông thì AD = BD
=> \(AD=\dfrac{1}{2}BC\) => Tg ABC vuông.
Mà AB = AC
=> Điều kiện của tam giác ABC là vuông cân tại A để AEBD là hình vuông.
cho tam giavs ABC cân tại A,M là trung điểm của AB, vẽ đường cao AD của tam giác ABC gọi E là điểm đối xứng với D qua H
a,chứng minh tứ giác AEBD là hình chữ nhật
b,chứng minh tứ giác ACDE là hình bình hành
c,tìm điệu kiện của tam giác ABC để tứ giác AEBD là hình vuông
d,chứng minh diện tích của tứ giác ABDE bằng diện tích tam giác ABC
Giải:
a) Ta có AM=MB và EM=MD ( đối xứng ) =>AEBD là hình bình hành
mà góc D = 90 (độ) => AEBD là hình chữ nhật
b) từ câu a =>AE//DC ; mà DC=DB (AD là đường cao của tam giác cân ABC =>là AD cũng đường trung tuyến)
=>ACDE là hình bình hành
c) để tứ giác AEBD là hình vuông thì:
như câu a thì AEBD là hình chữ nhật =>điều hiện là:AD=BD mà AD=BD =>tam giác ABC phải là tam giác vuông cân
d) S tam giác ABC= AD.BD/2 = AD.BD 1
S hình chữ nhật ABDE= AD.BD 2
Từ 1 và 2 =>S tam giác ABC = S hình chữ nhật ABDE (đpcm)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Lấy điểm H nằm giữa O và A. Dây cung CD vuông góc AB tại H
a)Tính góc ACB
b) gọi E là điểm đối xứng với A qua H. chứng minh tứ giác ACDE là hình thoi
c) gọi F là giao điểm của DE với BC. chứng minh HF là tiếp tuyến của đường tròn (I) đường kính EB
d) Tìm vị trí của H trên đoạn OA sao cho tam giác BCD đều
Tính diện tích tam giác BCD theo R
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD. Gọi M là trung điểm của AB. E là điểm đối xứng với D qua M.
a) CM: tứ giác ADBE là hình chữ nhật
b) TỨ giác ACDE là hình gì? CHứng minh?
c) Lấy điểm K sao cho B là trung điểm của AK. CM: CK=2CM
Lời giải:a)
$M$ là trung điểm $AB$. $E$ đối xứng với $D$ qua $M$ nên $M$ là trung điểm $DE$. Như vậy, xét tứ giác $ADBE$ có 2 đường chéo $AB$ và $ED$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của chính nó nên $ADBE$ là hình bình hành. Mà $\widehat{D}=90^0$ nên $ADBE$ là hình chữ nhật.
b)
Vì $ADBE$ là hình chữ nhật nên $AE=BD$ và $AE\parallel BD$.
$ABC$ cân tại $A$ nên đường cao $AD$ đồng thời là đường trung tuyến. Do đó $BD=DC$
Suy ra $AE\parallel DC$ và $AE=DC$. Do đó $ACDE$ là hình bình hành.
c)
Ta thấy: $MD=\frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình)
$MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$
$\Rightarrow MB=MD\Rightarrow \widehat{MBD}=\widehat{MDB}$
$\Rightarrow 180^0-\widehat{MBD}=180^0-\widehat{MDB}$
$\Leftrightarrow \widehat{KBC}=\widehat{MDC}$
Xét tam giác $KBC$ và $MDC$ có:
$\widehat{KBC}=\widehat{MDC}$ (cmt)
$\frac{KB}{BC}=\frac{AB}{BC}=\frac{\frac{AB}{2}}{\frac{BC}{2}}=\frac{MD}{DC}$
$\Rightarrow \triangle KBC\sim \triangle MDC$ (c.g.c)
$\Rightarrow \frac{KC}{MC}=\frac{BC}{DC}=2$
$\Rightarrow KC=2MC$ (đpcm)
Cho hình bình hành ABCD có AD = 2.AB, A = 60 độ. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Chứng minh: Tứ giác ABEF là hình thoi.
b) Chứng minh: BFDC là hình thang cân.
c) Tính ADB.
d) Lấy M đối xứng với A qua B. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật. Từ đó, suy ra M, E, D thẳng hàng.
chợ tạm giác ABC có 3 góc nhọn . Gọi H là đường trực tâm của tam giác . Từ A và C đúng 2 đường vuông góc với AB và BC , chúng giao nhau ở D
a, Chứng minh rằng : Tứ giác ADCH là hình bình hành
b, Goi E la diem doi xung voi H qua AC , Chứng minh rằng : Tứ giác ACDE là hình thang cân
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại B. AD là phân giác góc A. Gọi M,N,I lần lượt là trung
điểm của AD, AC, CD.
a) Chứng minh tứ giác MNID là hình bình hành?
b) Chứng minh tứ giác BMNI là hình thang cân.
c) Gọi K là điểm đối xứng với B qua N. Chứng minh tứ giác BAKC là hình bình hành
d) Khi góc A = 60 0 . Tính số đo các góc của hình thang BMNI?
- Xét tam giác ADC có:
M là trung điểm AD (gt)
N là trung điểm AC (gt)
=> MN là đường trung bình tam giác ADC
=> MN // DC <=> MN // BI (vì B; D; I; C cùng nằm trên BC)
=> Tứ giác BMNI là hình thang (1)
- Xét tam giác ADC có:
N là trung điểm AC (gt)
I là trung điểm DC (gt)
=> NI là đường TB tam giác ADC
=> NI // AD
=> góc BIN = góc BDM
- Xét tam giác ABD vuông tại B có M là trung điểm AD (gt)
=> BM là trung tuyến
=> BM = 1/2 . AD (trung tuyến ứng vs cạnh huyền)
=> BM = AM = MD
=> Tam giác BMD cân tại M
=> góc MBD = góc BDM
=> góc MBD = góc BIN ( = góc BDM) (2)
Từ (1) và (2)
=> BMNI là hình thang cân
b,
- Có AD là phân giác góc A (gt)
=> góc BAD = góc DAC = 1/2 . góc A = 29o
Xét tam giác ABD vuông tại B
=> góc BAD + góc BDA = 90o
=> 29o + góc BDA = 90o
=> góc BDA = 61o
Có góc BDA = góc MBD (cmt)
=> góc MBD = 61o
Mà BMNI là hình thang cân (cmt)
=> góc MBD = góc NID = 61o
- Có MN // BI (cmt)
=> góc MBD + góc BMN = 180o ( trong cùng phía)
=> 61o + góc BMN = 180o
=> góc BMN = 119o
Mà BMNI là hình thang cân
=> góc BMN = góc MNI = 119o
KL:.........
Cho tam giác ABC vuông tại A , K là trung điểm của AC . Vẽ điểm D đối xứng với B qua K , điểm E đối xứng với B qua A . Chứng minh tứ giác ACDE là hình chữ nhật
Xét tam giác BED có: AB=AE ( E dx với B qua A)
KB=KD( D dx với B qua K)
=> AK là đường TB của tam giác BED( đ/n)
=> AK// ED (d/l) => AC// ED ( K thuộc AC)
= > AK=1/2 ED (d/l)
mà AK=1/2AC( K là TĐ của AC)
=> ED= AC
Ta có: AC// ED(cmt) => Góc BAC= AED ( 2 góc đv)
mà BAC= 90 độ( ABC vuông tại A)
=> Góc AED= 90 độ
Xét tứ giác ACDE có: ED=AC( cmt)
ED//AC( cmt)
=> Tứ giác ACDE là hình bình hành( DHNB)
Góc AED= 90 độ
=> Tứ giác ACDE là HCN( DHNB)
Bài 1: Cho tam giác đều ABC, gọi D là điểm đối xứng với B qua C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD của tam giác ABD.
a. Chứng minh tứ giác AMCN là hình chữ nhật.
b. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC), từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt tia AH tại E. Chứng minh ba điểm E, C, N thẳng hàng và tam giác ADE đều.
c. So sánh diện tích tam giác ABD với diện tích tứ giác ABEC.