Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 được cho ở bảng sau:
Hãy ước lượng số trung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Đề bài
Một thư viện thống kê số lượng sách được mượn mỗi ngày trong ba tháng ở bảng sau:
Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Tham khảo:
Do số quyển sách là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:
Số sách trung bình được mượn mỗi ngày sau khi ghép nhóm là:
\(\bar x = \frac{{3.18 + 6.23 + 15.28 + 27.33 + 22.38 + 14.43 + 5.48}}{{92}} \approx 34,6\)
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\left[ {30,5;35,5} \right)\).
Do đó: \({u_m} = 30,5;{n_{m - 1}} = 15;{n_m} = 27;{n_{m + 1}} = 22;{u_{m + 1}} - {u_m} = 35,5 - 30,5 = 5\)
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 30,5 + \frac{{27 - 15}}{{\left( {27 - 15} \right) + \left( {27 - 22} \right)}}.5 \approx 34\)
Vậy số lượng sách được mượn mỗi ngày cao nhất là 35 quyển.
Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong 2 một tuần ở bảng sau:
Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Số cuộc gọi của người đó trong một tuần là \(n = 8 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 33\).
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{33}}\) là thời gian thực hiện cuộc gọi của người đó trong một tuần được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
\({x_1},...,{x_8} \in \left[ {0;60} \right);{x_9},...,{x_{18}} \in \left[ {60;120} \right);{x_{19}},...,{x_{25}} \in \left[ {120;180} \right);{x_{26}},...,{x_{30}} \in \left[ {180;240} \right);\) \({x_{31}},{x_{32}} \in \left[ {240;300} \right);{x_{33}} \in \left[ {300;360} \right)\).
• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \({x_{17}}\) thuộc nhóm \(\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {60;120} \right)}\end{array}\)
Ta có: \(n = 33;{n_m} = 10;C = 8;{u_m} = 60;{u_{m + 1}} = 120\)
Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:
\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 60 + \frac{{\frac{{33}}{2} - 8}}{{10}}.\left( {120 - 60} \right) = 111\)
• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_8} + {x_9}} \right)\).
Do \({x_8} \in \left[ {0;60} \right),{x_9} \in \left[ {60;120} \right)\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \({Q_1} = 60\).
• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right)\).
Do \({x_{25}} \in \left[ {120;180} \right),{x_{26}} \in \left[ {180;240} \right)\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \({Q_3} = 180\).
Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả sau:
Hãy ước lượng số trung bình, mốt và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Ta có:
Tổng số viên pin là: \(n = 10 + 20 + 35 + 15 + 5 = 85\).
• Điện lượng trung bình của một số viên pin tiểu sau khi ghép nhóm là:
\(\bar x = \frac{{10.0,925 + 20.0,975 + 35.1,025 + 15.1,075 + 5.1,125}}{{85}} \approx 1,02\left( {mAh} \right)\)
• Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array}\).
Do đó: \({u_m} = 1,0;{n_{m - 1}} = 20;{n_m} = 35;{n_{m + 1}} = 15;{u_{m + 1}} - {u_m} = 1,05 - 1,0 = 0,05\)
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,0 + \frac{{35 - 20}}{{\left( {35 - 20} \right) + \left( {35 - 15} \right)}}.0,05 \approx 1,02\left( {mAh} \right)\)
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{85}}\) là điện lượng của các viên pin được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x_1},...,{x_{10}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {0,9;0,95} \right)}\end{array};{x_{11}},...,{x_{30}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {0,95;1,0} \right)}\end{array}}\end{array};{x_{31}},...,{x_{65}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array};\\{x_{66}},...,{x_{80}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,05;1,1} \right)}\end{array}}\end{array};{x_{81}},...,{x_{85}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,1;1,15} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array}\end{array}\)
• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \({x_{43}}\)
Ta có: \(n = 85;{n_m} = 35;C = 10 + 20 = 30;{u_m} = 1,0;{u_{m + 1}} = 1,05\)
Do \({x_{43}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:
\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,0 + \frac{{\frac{{85}}{2} - 30}}{{35}}.\left( {1,05 - 1,0} \right) \approx 1,02\)
• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{21}} + {x_{22}}} \right)\).
Ta có: \(n = 85;{n_m} = 20;C = 10;{u_m} = 0,95;{u_{m + 1}} = 1,0\)
Do \({x_{21}},{x_{22}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {0,95;1,0} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:
\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 0,95 + \frac{{\frac{{85}}{4} - 10}}{{20}}.\left( {1,0 - 0,95} \right) \approx 0,98\)
• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{64}} + {x_{65}}} \right)\).
Ta có: \(n = 85;{n_j} = 35;C = 10 + 20 = 30;{u_j} = 1,0;{u_{j + 1}} = 1,05\)
Do \({x_{64}},{x_{65}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:
\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 1,0 + \frac{{\frac{{3.85}}{4} - 30}}{{35}}.\left( {1,05 - 1,0} \right) \approx 1,048\)
Thống kê điểm kiểm tra môn Toán của một lớp 10 có 22 học sinh nữ và 20 học sinh nam được cho ở bảng sau:
Cho biết đơn vị điều tra và kích thước của mẫu số liệu trên?
A. Đơn vị điều tra: môn Toán, kích thước của mẫu số liệu: 42
B. Đơn vị điều tra: môn Toán, kích thước của mẫu số liệu: 22
C. Đơn vị điều tra: một học sinh lớp 10, kích thước của mẫu số liệu: 20
D. Đơn vị điều tra: một học sinh lớp 10, kích thước của mẫu số liệu: 42
Đơn vị điều tra: một hsinh lớp 10.
Do lớp học có 22 nữ và 20 nam nên lớp có tất cả 42 học sinh . Do đó; kích thước của mẫu số liệu: 42
Chọn D
Số liệu thống kê điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10A được cho trong bảng sau:
Đơn vị điều tra và kích thước mẫu của bảng số liệu trên là:
A. Đơn vị điều tra: Điểm kiểm tra môn Toán của lớp 10A. Kích thước mẫu của số liệu: 44
B. Đơn vị điều tra: Điểm trung bình môn Toán của lớp 10A. Kích thước mẫu của số liệu: 45
C. Đơn vị điều tra: Điểm kiểm tra môn Toán của lớp 10A. Kích thước mẫu của số liệu: 45
D. Đơn vị điều tra: Điểm trung bình môn Toán của lớp 10A. Kích thước mẫu của số liệu: 44
Chọn A.
Đơn vị điều tra: Điểm kiểm tra môn Toán của lớp 10A
Liệt kê số điểm của 44 học sinh lớp 10A nên kích thước mẫu của số liệu là 44.
a) Em hãy thu thập điểm trung bình học kì I về môn Toán của từng học sinh lớp mình ?
b) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp để trình bày các số liệu thống kê thu thập được theo các lớp :
[0;2); [2;4); [4;6); [6;8); [8;10]
Cho bảng phân bố tần số ghép lớp
Cân nặng của các học sinh lớp 10A và 10B, trường Trung học phổ thông L. (Bảng 17)
Tính số trung bình, độ lệch chuẩn của cá số liệu thống kê ở lớp 10A, lớp 10B.
Học sinh ở lớp 10A hay lớp 10B có khối lượng lớn hơn?
Ở lớp 10A, ta tính được
x 1 = 52 , 4 k g ; s 1 = 7 , 1 k g
Ở lớp 10B, ta tính được
x 2 = 49 k g ; s 2 = 7 , 9 k g
x 1 > x 2 , nên học sinh ở lớp 10A có khối lượng lớn hơn.
Số điểm một cầu thủ bóng rổ ghi được trong 20 trận đấu được cho ở bảng sau:
a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên.
b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
c) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu từ bảng tần số ghép nhóm trên.
a) Sắp xếp lại dãy số liệu theo thứ tự không giảm:
Tứ phân vị thứ nhất là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right) = \frac{1}{2}\left( {11 + 11} \right) = 11\)
Tứ phân vị thứ hai là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {14 + 14} \right) = 14\)
Tứ phân vị thứ ba là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {21 + 22} \right) = 21,5\)
b)
c) Do số trận đấu là số nguyên nên ta hiệu chỉnh như sau:
Tổng trận đấu là: \(n = 4 + 8 + 2 + 6 = 20\).
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{20}}\) là điểm số của các trận đấu được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
\({x_1},...,{x_4} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {5,5;10,5} \right)}\end{array};{x_5},...,{x_{12}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {10,5;15,5} \right)}\end{array};{x_{13}},{x_{14}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {15,5;20,5} \right)}\end{array};{x_{15}},...,{x_{20}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {20,5;25,5} \right)}\end{array}\)
• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right)\)
Ta có: \(n = 20;{n_m} = 8;C = 4;{u_m} = 10,5;{u_{m + 1}} = 15,5\)
Do \({x_{10}},{x_{11}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {10,5;15,5} \right)}\end{array}}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:
\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 10,5 + \frac{{\frac{{20}}{2} - 4}}{8}.\left( {15,5 - 10,5} \right) = 14,25\)
• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right)\).
Ta có: \(n = 20;{n_m} = 8;C = 4;{u_m} = 10,5;{u_{m + 1}} = 15,5\)
Do \({x_5},{x_6} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {10,5;15,5} \right)}\end{array}}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:
\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 10,5 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 4}}{8}.\left( {15,5 - 10,5} \right) = 11,125\)
• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right)\).
Ta có: \(n = 20;{n_j} = 6;C = 4 + 8 + 2 = 14;{u_j} = 20,5;{u_{j + 1}} = 25,5\)
Do \({x_{15}},{x_{16}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {20,5;25,5} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:
\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 20,5 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - 14}}{6}.\left( {25,5 - 20,5} \right) \approx 21,3\)
Kết quả bài kiểm tra giữa kì cả các bạn học sinh lớp 10A, 10B, 10C được thống kê ở các biểu đồ dưới đây.
a) Hãy lập thống kê số lượng học sinh theo điểm số ở mỗi lớp.
b) Hãy so sánh điểm số của học sinh các lớp đó theo số trung bình, trung vị và mốt.
a)
b)
+) Lớp 10A
Số trung bình \(\overline x = \frac{{5.1 + 6.4 + 7.5 + 8.8 + 9.14 + 10.8}}{{1 + 4 + 5 + 8 + 14 + 8}} = 8,35\)
Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: \(5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,\underbrace {8,...,8}_8,\underbrace {9,...,9}_{14},\underbrace {10,...,10}_8\)
Do \(n = 40\), là số chẵn nên trung vị là: \({M_e} = \frac{1}{2}(9 + 9) = 9\)
Mốt \({M_e} = 9\)
+) Lớp 10B
Số trung bình \(\overline x = \frac{{5.4 + 6.6 + 7.10 + 8.10 + 9.6 + 10.4}}{{4 + 6 + 10 + 10 + 6 + 4}} = 7,5\)
Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: \(5,5,5,5,\underbrace {6,..,6}_6,\underbrace {7,...,7}_{10},\underbrace {8,...,8}_{10},\underbrace {9,...,9}_6,10,10,10,10\)
Do \(n = 40\), là số chẵn nên trung vị là: \({M_e} = \frac{1}{2}(7 + 8) = 7,5\)
Mốt \({M_e} = 7;{M_e} = 8.\)
+) Lớp 10C
Số trung bình \(\overline x = \frac{{5.1 + 6.3 + 7.17 + 8.11 + 9.6 + 10.2}}{{1 + 3 + 17 + 11 + 6 + 2}} = 7,6\)
Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: \(5,6,6,6,\underbrace {7,...,7}_{17},\underbrace {8,...,8}_{11},\underbrace {9,...,9}_6,10,10\)
Do \(n = 40\), là số chẵn nên trung vị là: \({M_e} = \frac{1}{2}(7 + 7) = 7\)
Mốt \({M_e} = 7\)
+) So sánh:
Số trung bình: \(8,35 > 7,6 > 7,5\) => Điểm số của HS các lớp theo thứ tự giảm dần là 10A, 10C, 10B.
Số trung vị: \(9 > 7,5 > 7\)=> Điểm số của HS các lớp theo thứ tự giảm dần là 10A, 10B, 10C.
Mốt: Lớp 10A có 14 điểm 9, Lớp 10B có 10 điểm 7 và 10 điểm 8, Lớp 10C có 17 điểm 7. Do đó so sánh theo mốt thì điểm số các lớp giảm dàn theo thứ tự là: 10A, 10B, 10C.