Khó quá, tớ mới học lớp 5 thôi.

Đề này còn có lý, lần sau chú ý đọc kĩ đề trước khi đăng lên, tránh làm mất thời gian vô ích:

\(\left|x-2y\right|\le\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow1\ge\sqrt{x}\left|x-2y\right|\Rightarrow1\ge x\left(x-2y\right)^2\)

\(\Rightarrow1\ge x^3-4x^2y+4xy^2\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{\sqrt{y}}\ge\left|y-2x\right|\Rightarrow1\ge y^3-4xy^2+4xy^2\)

Cộng vế:

\(\Rightarrow2\ge x^3+y^3=\dfrac{1}{2}\left(x^3+x^3+1\right)+\left(y^3+1+1\right)-\dfrac{5}{2}\ge\dfrac{1}{2}.3x^2+3y-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\left(x^2+2y\right)-\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(x^2+2y\right)\le\dfrac{9}{2}\Rightarrow x^2+2y\le3\)

a) Với x = 25 thì \(N=\frac{\sqrt{25}+1}{\sqrt{25}}=\frac{6}{5}\)

b) Ta có   \(M=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2.\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2.\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(M=\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

Suy ra \(S=M.N=\frac{2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

Sau vài phút cố gắng thì khẳng định đề bài của em bị sai

1 )Ta có :

\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{3\sqrt{x}}>\dfrac{1}{6}\)

\(\Rightarrow6\left(\sqrt{x}-2\right)>3\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow6\sqrt{x}-3\sqrt{x}-2>0\)

\(\Rightarrow3\sqrt{x}>2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}>\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow x>\dfrac{4}{9}\)

2)

Giả sử

\(\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}>\dfrac{1}{3}\)

=> \(3\sqrt{x}>x+\sqrt{x}+1\)

\(\Rightarrow x+\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}< 0\)

\(\Rightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)< 0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}\right)^2< 0\) ( vô lí )

Bất đẳng thức trên là sai, mà các phép biến dổi là tương đương

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}< \dfrac{1}{3}\)

\(y=\sqrt{x-6}+\sqrt{2-x}\)

\(\Rightarrow y^2=\left(\sqrt{x-6}+\sqrt{2-x}\right)^2=x-6+2-x+2\cdot\sqrt{x-6}\cdot\sqrt{2-x}\)

\(\Leftrightarrow y^2=-4+2\cdot\sqrt{\left(x-6\right)\left(2-x\right)}=-4+2\cdot\sqrt{2x-x^2-12+6x}\)

\(\Leftrightarrow y^2=-4+2\cdot\sqrt{4-\left(x^2-8x+16\right)}=-4+2\cdot\sqrt{2^2-\left(x-4\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow y^2=-4+2\cdot\sqrt{\left(2+x-4\right)\left(2-x+4\right)}=-4+2\cdot\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\)

\(\Rightarrow y=\sqrt{-4+2\cdot\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}}\Rightarrow-4+2\cdot\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\ge0\)( ĐỂ Y CÓ GIÁ TRỊ KHI LẤY CĂN )

\(\Leftrightarrow2\cdot\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\ge4\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\ge2\)

TA ĐƯỢC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA Y = 2 ( khi x = 4 )

Còn về giá trị lớn nhất thì mình tìm không được vì hiếm khi một biểu thức có thể tìm được cả MIN và MAX

Tại chỉ dùng kiến thức lớp 8 nên hơi rối rắm nha! ^.^

cái này tui dùng kiến thức lớp 7 còn dễ hơn bn làm quá thui

*)Tìm Min: Áp dụng BĐT \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\) ta có:

\(y=\sqrt{x-6}+\sqrt{2-x}\ge\sqrt{x-6+2-x}=\sqrt{4}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(2\le x\le6\)

*)Tìm Max: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(y^2=\left(x-6\right)+\left(2-x\right)+2\sqrt{\left(x-6\right)\left(2-x\right)}\)

\(=-4+2\sqrt{\left(x-6\right)\left(2-x\right)}\)

\(\le-4+\left(x-6\right)+\left(2-x\right)\)

\(=-4+\left(-4\right)=-8\Rightarrow y^2\le-8\)

->Ko có MAX

Lời giải:
a. Tại $x_0=\sqrt{5}$ thì:

$y=f(x_0)=\frac{x_0}{2}-\sqrt{x_0^2-1}+2$

$=\frac{\sqrt{5}}{2}-\sqrt{5-1}+2=\frac{\sqrt{5}}{2}$

b. Tại $x=\frac{1}{4}$ thì $x^2-1=\frac{-15}{16}< 0$ nên căn thức $\sqrt{x^2-1}$ không xác định. Do đó không tính được.