Đặt \(A=k^4-8k^3+23k^2-26k+10\)

\(=k^3\left(k-1\right)-7k^2\left(k-1\right)+16k\left(k-1\right)-10\left(k-1\right)\)

\(=\left(k-1\right)\left(k^3-7k^2+16k-10\right)\)

\(=\left(k-1\right)\left[k^2\left(k-1\right)-6k\left(k-1\right)+10\left(k-1\right)\right]\)

\(=\left(k-1\right)^2\left(k^2-6k+10\right)\)

Để A là số chính phương thì \(k^2-6k+10\) là số chính phương hoặc \(\orbr{\begin{cases}k-1=0\\k^2-6k+10=0\end{cases}}\)

-Nếu k² - 6k + 10 là số chính phương thì ta đặt \(k^2-6k+10=t^2\left(t\in Z\right)\)

\(\Rightarrow\left(k-3\right)^2+1=t^2\)

\(\Rightarrow\left(k-3\right)^2-t^2=-1\)

\(\Rightarrow\left(k-t-3\right)\left(k+t-3\right)=-1\)

Vì k,t là số nguyên nên ta có: 

\(TH1:\hept{\begin{cases}k-t-3=-1\\k+t-3=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k-t=2\\k+t=4\end{cases}\Rightarrow k=\left(2+4\right):2=3}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}k-t-3=1\\k+t-3=-1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k-t=4\\k+t=2\end{cases}\Rightarrow}k=\left(4+2\right):2=3\)

-Nếu \(\orbr{\begin{cases}k-1=0\\k^2-6k+10=0\end{cases}}\)

Mà \(k^2-6k+10=\left(x-3\right)^2+1>0\forall x\)

\(\Rightarrow k-1=0\Rightarrow k=1\) (thỏa mãn)

Vậy \(k\in\left\{1;3\right\}\)

Đặt \(B=k^4-8k^3+23k^2-26k+10\)

\(=\left(k^4-2k^2+1\right)-8k\left(k^2-2k+1\right)+9k^2-18k+1\)

\(=\left(k^2-1\right)^2-8k\left(k-1\right)^2+9\left(k-1\right)^2\)

\(=\left(k-1\right)^2\left[\left(k-3\right)^2+1\right]\)

Vì B là SCP

\(\Rightarrow\left(k-1\right)^2=0\)hoặc \(\left(k-3\right)^2+1\)là SCP

\(TH1:\left(k-1\right)^2=0\Rightarrow k-1=0\Rightarrow k=1\)

\(TH2:\left(k-3\right)^2+1\)

Đặt \(\left(k-3\right)^2+1=n^2\left(n\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2-\left(k-3\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(n-k+3\right)\left(n+k-3\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n-k+3=1\\n+k-3=1\end{cases}}\)

hoặc \(\hept{\begin{cases}n-k+3=-1\\n-k+3=-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n=1;k=3\\n=-1;k=3\end{cases}}\Rightarrow k=3\)

Vậy ....

Dễ dàng CM được (k2−4k+3)2≤A2<(k2−4k+6)2 
Do đó A2=(k2−4k+3)2 hoặc A2=(k2−4k+4)2hoặc A2=(k2−4k+5)2 
Từ đó tìm được k=1 hoặc k=3

\(A=k^4-8k^3+23k^2-26k+10\)

\(=k^2\left(k^2-2k+1\right)-6k\left(k^2-2k+1\right)+10\left(k^2-2k+1\right)\)

\(=\left(k^2-6k+10\right)\left(k-1\right)^2\)

+ TH1 : \(\left(k-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=0\\k=1\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

+ TH2 : \(\left(k-1\right)^2\ne0\)

=> A là số cp \(\Leftrightarrow k^2-6k+10\) là số cp

\(\Leftrightarrow k^2-6k+10=n^2\) ( \(n\in N\)* )

\(\Leftrightarrow\left(k-3\right)^2+1=n^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-k+3\right)\left(n+k-3\right)=1\)

Xét các TH rồi tìm đc \(k=3\)

Đặt M = k 4 − 8 k 3 + 23 k 2 − 26 k + 10  

Ta có M = ( k 4 − 2 k 2 + 1 ) − 8 k ( k 2 − 2 k + 1 ) + 9 k 2 − 18 k + 9 = ( k 2 − 1 ) 2 − 8 k ( k − 1 ) 2 + 9 ( k − 1 ) 2 = ( k − 1 ) 2 . ( k − 3 ) 2 + 1   

M là số chính phương khi và chỉ khi  ( k − 1 ) 2 = 0  hoặc ( k − 3 ) 2 + 1  là số chính phương.

TH 1. ( k − 1 ) 2 = 0 ⇔ k = 1.  

TH 2. ( k − 3 ) 2 + 1  là số chính phương, đặt ( k − 3 ) 2 + 1 = m 2 ( m ∈ ℤ )  

⇔ m 2 − ( k − 3 ) 2 = 1 ⇔ ( m − k + 3 ) ( m + k − 3 ) = 1  

Vì  m , k ∈ ℤ ⇒ m − k + 3 ∈ ℤ , m + k − 3 ∈ ℤ  nên

m − k + 3 = 1 m + k − 3 = 1 hoặc  m − k + 3 = − 1 m + k − 3 = − 1 ⇔ m = 1 , k = 3 m = − 1 , k = 3 ⇒ k = 3

Vậy k = 1 hoặc k = 3 thì k 4 − 8 k 3 + 23 k 2 − 26 k + 10  là số chính phương

`k^2-k+10`

`=(k-1/2)^2+9,75>9`

`k^2-k+10` là số chính phương nên đặt

`k^2-k+10=a^2(a>3,a in N)`

`<=>4k^2-4k+40=4a^2`

`<=>(2k-1)^2+39=4a^2`

`<=>(2k-1-2a)(2k-1+2a)=-39`

`=>2k-2a-1,2k+2a-1 in Ư(39)={+-1,+-3,+-13,+-39}`

`2k+2a>6`

`=>2k+2a-1> 5`

`=>2k+2a-1=39,2k-2a-1=-1`

`=>2k+2a=40,2k-2a=0`

`=>a=k,4k=40`

`=>k=10`

Vậy `k=10` thì `k^2-k+10` là SCP

`+)2k+2a-1=13,2k-2a-1=-3`

`=>2k+2a=14,2k-2a=-2`

`=>k+a=7,k-a=-1`

`=>k=3`

Vậy `k=3` hoặc `k=10` thì ..........