a: \(f\left(1\right)=a+b+c+d=a+3a+c+c+d=4a+2c+d\)

\(f\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d\)

\(=-8a+4\left(3a+c\right)-2c+d\)

\(=-8a+12a+4c-2c+d\)

\(=4a+2c+d\)

=>f(1)=f(-2)

b: Đặt \(h\left(x\right)=0\)

=>(x-1)(x-4)=0

=>x=1 hoặc x=4

Đặt g(x)=0

\(\Leftrightarrow x^2+5x+1=0\)

\(\text{Δ}=5^2-4\cdot1\cdot1=21>0\)

Do đó PT có 2 nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-5-\sqrt{21}}{2}\\x_2=\dfrac{-5+\sqrt{21}}{2}\end{matrix}\right.\)

=>h(x) và g(x) khôg có nghiệm chung

Gia su :f(x)=0 tai x=1

=>a1^3+b1^2+c1+d=0

hay a+b+c=0       (1)

ma a+b+c=0 (gt)    (2)

Tu1va 2 suyra:x=1 la nghiem cua da thuc f(x)

Thay b = 3a + c vào f(x) ta được:

f(x) = ax³ + (3a+c)x² + cx + d

⇒ f(1) = a.1³ + 3a + c.1²+ c.1 + d

          = a + 3a + c + c + d

          = 4a + 2c + d

          = 4a + 2c + d                          (1)

f(2) = a.2³ + 3a + c.2² - c.2 + d

      = 8a + 3a + 4c - 2c + d

      = 4a + 2c + d                        (2)

Từ (1) và (2) ➩ f(1) = f(2) [= 4a + 2 + d]

Thay b = 3a + c vào f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Ta có: ax³ + (3a + c)x² + cx + d = ax³ + 3ax² + cx² + cx + d

Lại có: f(1) = a . 1³ + 3a . 1² + c . 1² + c . 1 + d = a + 3a + c + c + d = 4a + 2c + d           (1)

và f(-2) = a . (-2)³ + 3a . (-2)² + c. (-2)² + c . (-2) + d = -8a + 12a + 4c - 2c + d = 4a + 2c + d          (2)

Từ (1) và (2) => f(1) = f(-2)   (đpcm)

Bài 1:
1. 

$6x^3-2x^2=0$

$2x^2(3x-1)=0$

$\Rightarrow 2x^2=0$ hoặc $3x-1=0$

$\Rightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{1}{3}$
Đây chính là 2 nghiệm của đa thức

2.

$|3x+7|\geq 0$

$|2x^2-2|\geq 0$

Để tổng 2 số bằng $0$ thì: $|3x+7|=|2x^2-2|=0$

$\Rightarrow x=\frac{-7}{3}$ và $x=\pm 1$ (vô lý) 

Vậy đa thức vô nghiệm.

Bài 2:

1. $x^2+2x+4=(x^2+2x+1)+3=(x+1)^2+3$

Do $(x+1)^2\geq 0$ với mọi $x$ nên $x^2+2x+4=(x+1)^2+3\geq 3>0$ với mọi $x$
$\Rightarrow x^2+2x+4\neq 0$ với mọi $x$

Do đó đa thức vô nghiệm

2.

$3x^2-x+5=2x^2+(x^2-x+\frac{1}{4})+\frac{19}{4}$

$=2x^2+(x-\frac{1}{2})^2+\frac{19}{4}\geq 0+0+\frac{19}{4}>0$ với mọi $x$

Vậy đa thức khác 0 với mọi $x$

Do đó đa thức không có nghiệm.

Bài 3:

$f(0)=a.0^3+b.0^2+c.0+d=d=5$

$f(1)=a+b+c+d=4$

$a+b+c=4-d=-1(*)$
$f(2)=8a+4b+2c+d=31$

$8a+4b+2c=31-d=26$

$4a+2b+c=13(**)$
$f(3)=27a+9b+3c+d=88$
$27a+9b+3c=88-d=83(***)$

Từ $(*); (**); (***)$ suy ra $a=\frac{1}{3}; b=13; c=\frac{-43}{3}$

Vậy.......