a: \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4>=0\)

hay \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

d: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

P=^{_{\(\dfrac{\sqrt{2}.a}{\sqrt{\left(a^2+\left(b+c\right)^2\right)\left(1+1\right)}}+\dfrac{\sqrt{2}.b}{\sqrt{\left(b^2+\left(a+c\right)^2\right)\left(1+1\right)}}+\dfrac{\sqrt{2}.c}{\sqrt{\left(c^2+\left(b+a\right)^2\right)\left(1+1\right)}}\)}}>=\(\dfrac{\sqrt{2}.a}{\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{2}.b}{\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{2}.c}{\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}}\)>=\(\sqrt{2}\)

nhầm dấu tí là dấu lớn hơn bằng còn cách lm thì đúng nhé 

nhầm dấu nhỏ hơn bằng 

Bài 1:

có: a + b - 2c = 0

⇒ a = 2c − b thay vào a² + b² + ab - 3c² = 0 ta có:

⇔ 

⇔ 

⇔ 

⇔ 

⇔ 

⇒ 

⇔ 

⇔ 

⇒  

Vậy 

\(P=\frac{a^3}{a^2+2bc}+\frac{b^3}{b^2+2ca}+\frac{c^3}{c^2+2ab}+3abc\)

\(P=a-\frac{2abc}{a^2+2bc}+b-\frac{2abc}{b^2+2ca}+c-\frac{2abc}{c^2+2ab}+3abc\)

\(P=\left(a+b+c\right)-2abc\left(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\right)+3abc\)

\(P=3-2abc\left(\frac{1}{a^2+2ab}+\frac{1}{b^2+2bc}+\frac{1}{c^2+2ca}\right)+3abc\)(Do a+b+c=3)

Áp dụng BĐT Schwarz cho 3 phân số:

\(\frac{1}{a^2+2abc}+\frac{1}{b^2+2bc}+\frac{1}{c^2+2ca}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9}{3^2}=1\)

\(\Rightarrow P\le3-2abc+3abc=3+abc\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số a,b,c: \(abc\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\frac{3^3}{27}=1\)

\(\Rightarrow P\le3+1=4\).

Vậy \(Max_P=4.\)Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.

Đợi chút; phần áp dụng BĐT schwarz, cái đầu tiên mình gõ thừa chữ "c" ở mẫu thức, bn sửa đi nhé.

Phân tích P ra thành :\(P=a+b+c-2.abc\left(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\right)+3abc\) .

mà \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=1theoCauchy-Schwarts\) và a+b+c=3.

=>P\(\le\) 3- 2abc.1 +3abc.

=>p\(\le\) 3+abc mà abc\(\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=1.\)

=>p\(\le\) 3+1=4.

Dấu = xảy ra <=>a=b=c=1.

Vậy..............................

a) Kết quả ( a   –   b ) 2 .

Gợi ý a 4   –   2 a 2 b 2   +   b 4 = ( a 2   –   b 2 ) 2 = ( a   –   b ) 2 ( a   +   b ) 2 .

b) Kết quả - 8 ( a   –   2 b ) 2 .

Chọn B

Đặt: \(k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\) , \(k\in Z\)

Giả sử, k không là số chính phương. 

Cố định số nguyên dương kk, sẽ tồn tại cặp (a,b)(a,b) . Ta kí hiệu 

\(S=a,b\in NxN\)| \(\frac{a^2+b^2}{ab+1}=k\)

Theo nguyên lí cực hạn thì các cặp thuộc SS tồn tại (A,B)(A,B) sao cho A+B đạt min 

Giả sử: \(A\ge B>0\). Cố định B ta còn số A thảo phương trình \(k=\frac{x+B^2}{xB+1}\)

\(\Leftrightarrow x^2-kBx+B^2-k=0\)phương trình có nghiệm là A.

Theo Viet: \(\hept{\begin{cases}A+x_2=kB\\A.x_2=B^2-k\end{cases}}\)

Suy ra: \(x_2=kB-A=\frac{B^2-k}{A}\)

Dễ thấy x₂ nguyên.

Nếu x₂ < 0 thì \(x_2^2-kBx_2+B^2-k\ge x_2^2+k+B^2-k>0\) vô lý. Suy ra: _{\(x_2\ge0\)} do đó \(x_2,B\in S\)

Do: \(A\ge B>0\Rightarrow x_2=\frac{B^2-k}{A}< \frac{A^2-k}{A}< A\)

Suy ra: \(x_2+B< A+B\) (trái với giả sử A+BA+B đạt min) 

Suy ra kk là số bình phương