a) Đặt \(d=\left(3n-2,4n-3\right)\).

Suy ra \(\hept{\begin{cases}3n-2⋮d\\4n-3⋮d\end{cases}}\Rightarrow4\left(3n-2\right)-3\left(4n-3\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\).

Ta có đpcm. 

b) Đặt \(d=\left(4n+1,6n+1\right)\).

Suy ra \(\hept{\begin{cases}4n+1⋮d\\6n+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow3\left(4n+1\right)-2\left(6n+1\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\).

Ta có đpcm. 

gọi d là UCLN ( 2n+1;2n\(^2\)+2n)

2n+1\(⋮\)d=> n(2n+1)\(⋮\)d=> (2\(n^2\)+n)\(⋮\)d

2n\(^2\)+nchia hết cho d

=> ( 2n\(^2\)+2n-(\(2n^2\)+n))\(⋮\)d

mà n\(⋮d\)

2n+1chia hết cho d

=> 2n+1-2n chia hết cho d

<=> 1chia hết cho d => d =1

vậy 2n+1.2n(n+1) luôn tối giản với \(\forall\) n

để p/số trên tối giản thì ƯCLN  là 1,gọi số đó là d

n+1:d,2n+2:d

2n+3-2n-2:d

1:d

d=1

vậy p/số đó luôn tối giản

gọi ƯC(n+1;2n+3)=d

ta có n+1 chia hết cho d nên 2(n+1) chia hết cho d nên 2n+2 cũng chia hết cho d , mặt khác 2n+3 chia hết cho d

nên 2n+3-(2n+2) chia hết cho d nên 1 chia hết cho d vậy ƯC của n+1 và 2n+3 là 1 hoặc -1

do đó mọi fân số dạng n+1/2n+3 đều là phân số tối giản

Gọi \(d\inƯC\left(3n-5;3-2n\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n-5⋮d\\3-2n⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n-10⋮d\\6n-9⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\inƯ\left(-1\right)\)

\(\Leftrightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)

\(\LeftrightarrowƯC\left(3n-5;3-2n\right)=\left\{1;-1\right\}\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(3n-5;3-2n\right)=1\)

hay \(\dfrac{3n-5}{3-2n}\) là phân số tối giản(đpcm)

a) Gọi d là ƯCLN(n+1;2n+3)

Ta có:  n+1 chia hết cho d => 2n+2 chia hết cho d

2n+3 chia hết cho d

=> (2n+3)-(2n+2)=1 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(1)={1;-1}

Vậy n+1/2n+3 là phân số tối giản với n là số tự nhiên                                 ĐPCM

b) Gọi d là ƯCLN(2n+3;4n+8)

Ta có: 2n+3 chia hết ch d

4n+8 chia hết cho d => 2n+4 chia hết cho d

=> (2n+4)-(2n+3)=1 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(1)={1;-1}

=> 2n+3/4n+8 là phân số tối giản với mọi n thuộc số tự nhiên                  ĐPCM