TA CÓ A>\(\frac{2010}{2009^2+1+2008}\) +\(\frac{2010}{2009^2+2+2007}\) +...+\(\frac{2010}{2009^2+2009}\)                                                     \(\Rightarrow\)A>2009.\(\frac{2010}{2009^2+2009}\)\(\Rightarrow\)A>\(\frac{2009.2010}{2009.2010}\) \(\Rightarrow\) A>1   (1)                                                                         2.TA CÓ A<\(\frac{2010}{2009^2}\) +\(\frac{2010}{2009^2}\) +...+\(\frac{2010}{2009^2}\)                                                                                               \(\Rightarrow\) A<2009.\(\frac{2010}{2009^2}\) \(\Rightarrow\) A<\(\frac{2010}{2009}\) <2 \(\Rightarrow\) A<2     (2)                                                                                          TỪ (1) VÀ (2) SUY RA 1<A<2 .VẬY A KHÔNG PHẢI SỐ NGUYÊN DƯƠNG    (dpcm)

do \(2009^{2009}-2< 2009^{2010}-2\Rightarrow B< 1\)

theo bài ra ta có:

\(B=\frac{2009^{2010}-2}{2009^{2011}-2}< \frac{2009^{2010}-2+2011}{2009^{2011}-2+2011}=\frac{2009^{2010}+2009}{2009^{2011}+2009}=\frac{2009\left(1+2009^{2009}\right)}{2009\left(1+2009^{2010}\right)}\)

\(=\frac{2009^{2009}+1}{2009^{2010}+1}=A\Rightarrow B< A\)

chúc bạn học tốt!!!

Ta có B có tử và mẫu bằng nhau=> B = 1

Vi 2009²⁰⁰⁹<2009²⁰¹⁰=>2009²⁰⁰⁹+1<2009²⁰¹⁰+1

Vậy A có từ< mẫu=>A<1

=>A<B

VẬy A<B

Kết bạn với mình nhé

+ \(\frac{a}{2009}=\frac{b}{2010}\Leftrightarrow2010a=2009b.\)(1)

+ \(\frac{a+2009}{a-2009}=\frac{b+2010}{b-2010}\Rightarrow\left(a+2009\right)\left(b-2010\right)=\left(a-2009\right)\left(b+2010\right)\)

\(\Rightarrow ab-2010a+2009b-2009.2010=ab+2010a-2009b-2009.2010\)

\(\Leftrightarrow2.2009.b=2.2010.a\Leftrightarrow2010a=2009b\)(2)

Từ (1) và (2) => dpcm

\(B=\frac{2009^{2010}-2}{2009^{2011}-2}< 1\)

\(\Rightarrow B=\frac{2009^{2010}-2}{2009^{2011}-2}< \frac{2009^{2010}-2+2011}{2009^{2011}-2+2011}=\frac{2009^{2010}+2009}{2009^{2011}+2009}\)\(=\frac{2009.\left(2009^{2009}+1\right)}{2009.\left(2009^{2010}+1\right)}=\frac{2009^{2009}+1}{2009^{2010}+1}\)

Suy ra : \(\frac{2009^{2010}-2}{2009^{2011}-2}< \frac{2009^{2009}+1}{2009^{2010}+1}\) hay \(B< A\)

Vậy \(A>B\)

Do 2009\(^{2010}\)-2 < 2009\(^{2011}\)-2 \(\Rightarrow\)B<1

Theo đề bài ta có: 

B= \(\frac{2009^{2010}-2}{2009^{2011}-2}\)< \(\frac{2009^{2010}-2+2011}{2009^{2011}-2+2011}\)= \(\frac{2009^{2010}+2009}{2009^{2011}+2009}\)= \(\frac{2009.\left(1+2009^{2009}\right)}{2009.\left(1+2009^{2010}\right)}\)= \(\frac{2009^{2009}+1}{2009^{2010}+1}\)= A \(\Rightarrow\)B<A

Ta có:

\(B=\dfrac{2009^{2010}-2}{2009^{2011}-2}\)

\(B< \dfrac{2009^{2010}-2+2011}{2009^{2011}-2+2011}\)

\(B< \dfrac{2009^{2010}+2009}{2009^{2011}+2009}\)

\(B< \dfrac{2009\left(2009^{2009}+1\right)}{2009\left(2009^{2010}+1\right)}\)

\(B< \dfrac{2009^{2009}+1}{2009^{2010}+1}\)

Mà \(A=\dfrac{2009^{2009}+1}{2009^{2010}+1}\)

\(\Rightarrow B< A\)