Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA = MD

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có:

\(BM=CM\left(gt\right)\)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)

\(MA=MD\) (cách vẽ)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta DCM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AB=CD\)(2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ACD\) có: \(AD< AC+CD\)

\(\Rightarrow2AM< AC+AB\)

\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta MAB\)có: \(AM>AB-BM\)

Xét \(\Delta MAC\)có: \(AM>AC-MC\)

\(\Rightarrow AM+AM>AB-BM+AC-MC\)

\(\Rightarrow2AM>AB+AC-\left(BM+CM\right)\)

\(\Rightarrow2AM>AB+AC-BC\)

\(\Rightarrow AM>\frac{AB+AC-BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{AB+AC-BC}{2}< AM< \frac{AB+AC}{2}\left(đpcm\right)\)

Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho AM=MD

Xét tam giác AMB VÀ TAM GIÁC DMC có

MB=MC(gt)

AM=MD(cách dựng)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(ĐÓI ĐỈNH)

\(\Rightarrow\)Tam giác AMB=Tam giác BMC(c-g-c)

\(\Rightarrow\)AB=CD(2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ACD có

AD<CD+AC(bất đẳng thức tam giác)

\(\Rightarrow\)AD<AB+AC(VÌ AB=CD)

Mà AD=AM+MD=2AM

\(\Rightarrow2AM< AB+AC\)

\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\)(ĐPCM)

Kẻ đoạn thẳng AM

Trên tia AM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của AK

=> MA = MK = AK/2 => 2AM = AK

M là trung điểm của BC ( gt ) => MB = MC

Xét tam giác AMB và tam giác KMC có :

MA = MK ( cmt )

AMB = KMC ( đối đỉnh )

MB = MC ( cmt )

Do đó tam giác AMB = tam giác KMC ( c . g . c )

=> AB = CK ( 2 cạnh tương ứng )

CÓ AK < AC + CK ( bất đẳng thức trong tam giác )

hay 2AM < AC + AB

=> AM < \(\frac{AC+AB}{2}\)( dpcm )

Vậy ...

Sửa đề \(AM< \frac{AB+AC+BC}{2}\)

Có AM<AB+BM(BĐT tam giác)

AM<AC+MC(BĐT tam giác)

=> 2AM<AB+AC+BM+MC=AB+AC+BC

Gọi F, K lần lượt là giao của hai đường thẳng EM, DM với cạnh BC

Áp dụng định lí Ta – lét trong \(\Delta ABC\)có:

DK // AC \(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{CK}{BC}\);  EF // AB \(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BC}\left(1\right)\)

Áp dụng định lí Ta – lét trong \(\Delta ABN\)có:

MF // AB \(\Rightarrow\frac{MN}{AN}=\frac{FN}{BN}\left(2\right)\)

Áp dụng định lí Ta – lét trong \(\Delta ACN\)có:

MK // AC \(\Rightarrow\frac{MN}{AN}=\frac{NK}{NC}\left(3\right)\)

Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{MN}{AN}=\frac{FN}{BN}=\frac{NK}{NC}=\frac{FN+NK}{BN+NC}=\frac{FK}{BC}\left(4\right)\)

Từ (1) và (4) \(\Rightarrow\frac{AD}{AB}+\frac{AE}{AC}+\frac{MN}{AN}\)

\(=\frac{CK}{BC}+\frac{BF}{BC}+\frac{FK}{BC}=\frac{CK+BF+FK}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\)

Vậy tổng \(\frac{AD}{AB}+\frac{AE}{AC}+\frac{MN}{AN}\)có giá trị không đổi.

a)

+) Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)DCM có :

AM = DM (gt)

góc AMB = góc DMC ( đối đỉnh )

BM = CM (gt)

=> \(\Delta\)ABM = \(\Delta\)DCM ( c.g.c )

=> AB = DC ( hai canh tương ứng )

+) Do \(\Delta\)ABM = \(\Delta\)DCM (cmt)

=> góc ABM = góc DCM ( hai góc tương ứng )

Mà hai góc này ở vị trí sole trong

=> AB // DC

b) Ta có : AB // CD (cmt)

 AB \(\perp\) AC (gt)

=> DC \(\perp\)AC

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)CDA có :

AB = CD (cmt)

góc BAC = góc DCA ( = 90 độ )

AC chung

=> \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)CDA ( c.g.c )

=> BC = DA ( hai cạnh tương ứng )

Mà : \(\frac{DA}{2}=MD=MA\Rightarrow MA=\frac{1}{2}BC\) (đpcm)

c) Xét \(\Delta\)BAE và \(\Delta\)BAC có :

AB chung

góc BAE = góc BAC ( = 90 độ )

AE = AC (gt)

=> \(\Delta\)BAE = \(\Delta\)BAC ( c.g.c )

=> BE = BC và góc BEA = góc  BCA ( hai góc tương ứng )  (1)

Ta chứng minh được ở phần b) có : AM = \(\frac{1}{2}BC=MC\)

=> \(\Delta\)AMC cân tại M

=> góc MAC = góc MCA 

hay góc MAC = góc BCA (2)

Từ (1) và (2) => góc MAC = góc BEC

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

=> AM // BE (đpcm)

d) Câu này mình không hiểu đề lắm !!

Mình nghĩ là : \(\Delta\)ABC cần thêm điều kiện góc B = 30 độ thì sẽ có điều trên.

e) Ta có : BE // AM

=> BE // AD

=> góc EBO = góc DAO

Xét \(\Delta\)EBO và \(\Delta\)DAO có :

BE = AD ( = BC )

góc EBO = góc DAO (cmt)

OB = OA (gt)

=> \(\Delta\)EBO = \(\Delta\)DAO ( c.g.c )

=> góc EOB = góc DOA ( hai góc tương ứng )

Mà : góc EOB + góc EOA = 180 độ

=> góc DOA + góc EOA = 180 độ

hay : góc EOD = 180 độ

=> Ba điểm E, O, D thẳng hàng (đpcm)

Câu hỏi của Vu Duc Manh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Bạn tự vẽ hình nhé. Mình giải thôi.

1)Bạn chia 2 TH.

a) Góc MDB lớn hơn hoac bằng 60 độ

=>MD<MB mà ME>MC=MB

=>MD<ME.

b) Góc MDB nhỏ hơn 60 độ.

=> MD giao CA tại E .

Dễ dàng cminh DM<ME.

2) Ta có tam giác ABC cân tại A => AI là phân giác cũng là trung trực BC

=> AI trung trực BC. Mà AO là trung trục BC.

=> AI trùng AO.

=>OI là trung trực BC

Đè bài cần xem lại nhé.

3)Ta có góc B > góc C => AC>AB

Có AC đối dienj góc vuông trong tam giác vuông AEC => AC>CE

Tương tự AB>BD

Tất cả các điều => AC-AB>CE-BD

Trịnh Đức Minh