Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . AD=a, AB=2a,BC=3a , (SAB) đều và vuông góc với đáy . Tính khoảng cách từ điểm A đến (SCD) .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AD = a, AB = 2a, BC = 3a, SA = 2a. H là trung điểm cạnh AB, SH là đường cao của hình chóp S.ABCD, Tính khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD)
A . a 30 7
B . a 30 10
C . a 13 10
D . a 13 7
Đáp án B
Gọi H 1 là chân đường cao kẻ từ H đến DC. H 2 là chân đường cao kẻ từ H đến S H 1 . Khi đó ta có
=> Chọn phương án B.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SC tạo với (SAD) góc 30 o . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD).
+ Xác định góc của SC với (SAD).
Hạ CE ⊥ AD, ta có E là trung điểm AD và CE ⊥ (SAD) nên ∠(CSE) = 30 o .
∠(CSE) cũng chính là góc giữa SC và mp(SAD).
Trong ΔCSE, ta có:
S E = C E . tan 60 o = a 3 ⇒ S A = S E 2 - A E 2 = 3 a 2 - a 2 = a 2 .
Nhận xét
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AE.
Ta có MN // BE nên MN // CD. Như vậy MN // (SCD). Ta suy ra
d(M,(SCD)) = d(N,(SCD)).
Mà DN/DA = 3/4 nên d(N,(SCD)) = 3/4 d(A,(SCD))
+ Xác định khoảng cách từ A đến (SCD).
Vì vậy tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với AC.
CD ⊥ AC & CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ (SCD) ⊥ (SAC).
Hạ AH ⊥ SC, ta có AH ⊥ (SCD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B và AD = 2a, AB = BC = SA = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, với M là trung điểm AD. Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng (SCD).
A. h = a 3
B. h = a 6 6
C. h = a 6 3
D. h = a 3 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B và AD = 2a, AB = BC = SA = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, với M là trung điểm AD. Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng (SCD).
A. h = a 3
B. h = a 6 6
C. h = a 6 3
D. h = a 3 6
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, I là trung điểm của AB, có (SIC) và (SID) cùng vuông góc với đáy. Biết AD=AB=2a, BC=a, khoảng cách từ I đến (SCD) là 3 a 2 4 . Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là
A. a 3 .
B. a 3 3 .
C. 3 a 3 .
D. a 3 3 2 .
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, I là trung điểm của AB, có (SIC) và (SID) cùng vuông góc với đáy. Biết A D = A B = 2 a , B C = a , khoảng cách từ I đến (SCD) là 3 a 2 4 . Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. a 3 .
B. a 3 3 .
C. 3 a 3 .
D. a 3 3 2 .
Đáp án B
S I C D = S A B C D − S A I D − S B I C = 3 a 2 − a 2 − a 2 2 = 3 a 2 2 ; C D = 2 a 2 + a 2 = a 5
Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của I lên CD và SK
⇒ I H ⊥ S C D ⇒ I H = d I ; S C D = 3 a 2 4
S Δ I C D = 1 2 I K . C D ⇒ I K = 2 S I C D C D = 3 a 2 a 5 = 3 a 5
1 I H 2 = 1 I K 2 + 1 I S 2 ⇒ 1 I S 2 = 8 9 a 2 − 5 9 a 2 = 1 3 a 2 ⇒ I S = a 3
⇒ V S . A B C D = 1 3 .3 a 2 . a 3 = a 3 3
Cho hình chóp S . A B C D có đáy là hình thang vuông tại A và B. Biết A D = 2 a , A B = B C = S A = a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi M là trung điểm cạnh AD. Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng (SCD).
A. h = a 3 .
B. h = a 6 3 .
C. h = a 6 6 .
D. h = a 3 6
Đáp án C
Theo dữ kiện đề bài cho, dễ dàng chứng minh được ΔACD vuông tại cân C và A C = A D 2 = a 2 .
C D ⊥ A C C D ⊥ S A ⇒ C D ⊥ S A C ⇒ S A C ⊥ S C D
Mà S A C ∩ S C D = S C , từ A kẻ A H ⊥ S C . Khi đó d A ; S C D = A H .
Tam giác SAC vuông tại
A: 1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A C 2 = 1 a 2 + 1 2 a 2 = 3 2 a 2 ⇒ d A ; S C D = A H = a 2 3
Mặt khác: A D ∩ S C D = D và M là trung điểm AD nên:
d M ; S C D d A ; S C D = M D A D = 1 2 ⇒ d M ; S C D = 1 2 d A ; S C D = a 6 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Gọi I là trung điểm của AB, hai mặt phẳng (SIC) và (SID) cùng vuông góc với đáy. Biết AD=AB=2a, BC=a, khoảng cách từ I đến (SCD) là 3 a 2 4 . Thể tích khối chóp S.ABCD là
A . a 3
B . a 3 3
C . 3 a 3
D . a 3 3 2
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Biết $AD=2a$, $AB=BC=SA=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Tính khoảng cách $h$ từ $M$ đến mặt phẳng $(SCD)$.
Ta có \(\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(M,\left(SCD\right)\right)}=2\Rightarrow d=\left(m,\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)
Dễ thấy AC _|_ CD, SA _|_ CD dựng AH _|_ SA => AH _|_ (SCD)
Vậy d(A,(SCD))=AH
Xét tam giác vuông SAC (A=1v) có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
Vậy suy ra \(d\left(M,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
là trọng tâm tam giác SAE.
Tứ diện AEND vuông tại đỉnh A nên
h=\(\dfrac{\sqrt{6}}{6}\)