Cho hình chữ nhật ABCD có AD=2DC. M là điểm trên cạnh AB. Tia phân giác góc CDM cắt BC tại E. Chứng minh rằng DM=AM+2EC
Cho hình chữ nhật ABCD (AD=2DC). M thuộc AB. Tia phân giác của góc CDM cắt BC tại E. Chứng minh DM = AM + 2EC.
Trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho \(CF=\frac{1}{2}AM\).
Ta có: \(\Delta ADM\infty\Delta CDF\)vì \(\frac{CD}{AD}=\frac{CF}{AM}=\frac{1}{2}\)và A=C=90 độ.
Suy ra: DM=2DF
ADM=CDF\(\Rightarrow\)FMD vuông \(\Rightarrow\)EDF+EDM=90 độ \(\Rightarrow\)EDF+CDE=90 độ
Mà DEF+CDE=90 độ
Suy ra: EDF=DEF\(\Rightarrow\)tam giác DEF cân tại F.\(\Rightarrow\)DF=EF
Vậy DM=2DF=2EF=2EC+2CF=2EC+AM
Bài tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD, AD=2DC. M ∈ AB. Tia phân giác ∠CDM cắt BC ở E. CM:\(AM+2EC=DM\).
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\), \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(BC\).
\(a.\) Tính diện tích tứ giác \(AMND\).
\(b.\) Phân giác góc \(CDM\) cắt \(BC\) tại \(E\). Chứng minh \(DM=AM+CE\)
Trên tia đối của tia \(AM\) lấy \(I\) sao cho: \(AI=CE\)
Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDE\) có:
\(AD=CD\left(gt\right)\)
\(\widehat{DAI}=\widehat{DCE}=90^o\)
\(AI=CE\left(gt\right)\)
Vậy \(\Delta ADI=\Delta CDE\left(c.g.c\right)\)
\(\Leftrightarrow\widehat{IDA}=\widehat{EDC}\) ( 2 góc t/ứng )
\(\Leftrightarrow\widehat{AID}=\widehat{CED}\) ( 2 góc t/ứng )
\(\Leftrightarrow\) \(\widehat{CED}=\widehat{ADE}\) mà 2 góc này ở vị trí so le trong ( do \(AD//BC\) )
\(\Rightarrow\widehat{AID}=\widehat{ADE}\left(1\right)\)
Ta có: \(\widehat{ADE}=\widehat{ADM}+\widehat{MDE}\left(2\right)\)
Vì \(\widehat{MDE}=\widehat{EDC}\)
\(\Rightarrow\widehat{MED}=\widehat{IDA}\left(3\right)\)
Từ \(\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ADM}+\widehat{IDA}=\widehat{IDM}\left(4\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(4\right)\Rightarrow\widehat{AID}=\widehat{IDM}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{MID}=\widehat{IDM}\)
\(\Leftrightarrow\Delta IDM\) cân \(\left\{M\right\}\)
\(\Leftrightarrow DM=IM\)
Ta lại có: \(IM=AM+AI=AM+CE\)
\(\Rightarrow DM=AM+CE\)
Cho hình chữ nhật ABCD có AD=10cm ,AB=29cm .Trên CD lấy điểm M sao cho DM=4cm .
a) Chứng minh rằng AM vuông góc với MB
b) Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại E . Kẻ đường thẳng d đi qua E
Vuông góc với AB. Đường thẳng d cắt MA và MB lần lượt tại H và K .Đường thẳng AK cắt BH tại N. Chứng minh rằng MN là tia phân giác của góc BMH
Cho Hình Vuông ABCD có M,N,E lần lượt là trung điểm AB,BC,CD. DN cắt CM tại I. Phân giác góc CDM cắt BC tại K .
Chứng Minh DM = AM +CK
Lấy F trên tia đối của AB sao cho AF=CK
=>AM+CK=AM=MF 3
Xét tam giác DAF và tam giác NCN có
AF=CK(gt)
DAF=DCK(gt DK là pg)
AD=CD(gt)
=> tam giác DAF= tam giác DCK(c-g-c)
=>AFD=CKD( 2 góc t/ứng)
Mà CKD=ADK(slt)=>AFD=ADK 1
Mặt khác ADK= ADM+MDK, MDK=KDC(gt)
=>ADK=ADM+KDC=ADM+ADF 2
Từ 1 và 2=>AFD=ADM+ADF=MDF=>tam giác FMD cân tại M=>FM=MD 4
Từ 3 và 4=>AM+CK=DM
-dpcm-
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 9cm; AC= 12cm.
a) Tính BC
b) Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D. Kẻ DM vuông góc với BC tại M. Chứng minh rằng AD=DM.
c) Gọi giao điểm của DM và AB là E. Chứng minh rằng AM//EC
Giup em với huhu T^T
a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC^2=9^2+12^2=225\)
=>\(BC=\sqrt{225}=15\left(cm\right)\)
b: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBMD vuông tại M có
BD chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{MBD}\)
Do đó: ΔBAD=ΔBMD
=>DA=DM
c: Xét ΔDAE vuông tại A và ΔDMC vuông tại M có
DA=DM
\(\widehat{ADE}=\widehat{MDC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDAE=ΔDMC
=>AE=MC
Ta có: ΔBAD=ΔBMD
=>BA=BM
Xét ΔBEC có \(\dfrac{BA}{AE}=\dfrac{BM}{MC}\)
nên AM//EC
Cho hình chữ nhật ABCD có BC = 2DC. Tia Cx tạo CD một góc bằng 15o cắt AD tại E. Chứng minh rằng: Tam giác BCE cân.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD và AD = 5cm. Trên DC lấy điểm M sao cho DM = 2cm. Biết góc AMB = 90độ.
a, C/minh: tam giác DAM đồng dạng tam giác CMB. Tính độ dài MC
b, Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại E. Kẻ EK vuông góc AB (K thuộc MB). CMR: EA = EK
c, Tia EK cắt AM tại H, tia AK cắt BH tại N . C/minh: MN là tia phân giác góc BMH
a)Ta có : \(\widehat{A_1}+\widehat{M_1}=90^o;\widehat{M_1}+\widehat{BMC}=90^o\)\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{BMC}\)
Xét \(\Delta ADM\)và \(\Delta BMC\)có : \(\widehat{A_1}=\widehat{BMC}\); \(\widehat{ADM}=\widehat{BCM}\)
\(\Rightarrow\Delta DAM\approx\Delta CMB\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{AD}{DM}=\frac{CM}{BC}\)hay CM = \(\frac{5}{2}.5=12,5\)
b) \(\Delta AMB\)có EK là tia phân giác nên \(\frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MB}\)( 1 )
Mặt khác : \(\widehat{B_1}+\widehat{EKB}=90^o;\widehat{B_1}+\widehat{A_2}=90^o\)nên \(\widehat{A_2}=\widehat{EKB}\)
\(\Delta BEK\approx\Delta BMA\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{EK}{EB}=\frac{MA}{MB}\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra EA = EK
c) Ta có : \(\widehat{BMH}=90^o\)nên \(BM\perp AH\)
Xét \(\Delta AHB\)có \(BM\perp AH\); \(HE\perp AB\)nên K là trực tâm \(\Rightarrow AN\perp BH\)
\(\Rightarrow\widehat{ANH}=90^o\)
xét \(\Delta AHN\)và \(\Delta BMH\)có : \(\widehat{ANH}=\widehat{BMH}=90^o;\widehat{MHN}\left(chung\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta AHN\approx\Delta BHM\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\)\(\frac{MH}{BH}=\frac{HN}{AH}\)hay \(\frac{MH}{HN}=\frac{BH}{AH}\)
Xét \(\Delta MHN\)và \(\Delta AHB\)có : \(\widehat{MHN}\left(chung\right);\frac{MH}{HN}=\frac{BH}{AH}\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta HMN\approx\Delta HBA\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\)\(\widehat{HMN}=\widehat{HBA}\)
Mà EA = EK nên \(\widehat{A_2}=45^o\) \(\Rightarrow\widehat{ABH}=90^o-\widehat{A_2}=45^o\)hay \(\widehat{HMN}=45^o\)
Ta có : \(\widehat{EMN}=180^o-\widehat{AME}-\widehat{HMN}=180^o-45^o-45^o=90^o\)
\(\Rightarrow EM\perp MN\)
Mặt khác : ME là tia phân giác \(\widehat{AMB}\) nên MN là tia phân giác \(\widehat{BMH}\)
Bài 1; Cho hình thang ABCD (AD//BC), phân giác góc A cắt BC tại E
a) Chứng minh rằng AB=BE
b)Phân giác góc B cắt AE tại F. Chứng minh BF vuông góc AE và FA=FE
c) Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD. Chứng minh M,F,N thẳng hàng
Bài 2; Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB+BC=CD . Chúng minh tia phân giác góc A và góc B cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đáy CD
Bài 3 Cho hình thang ABCD (AB//CD) , tia phân giác góc A và góc B cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đáy CD . Chứng minh AD+BC=CD
Câu hỏi của Hồ Phong Thư - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath