Cho tam giác ABC nhọn, kẻ đường cao BE, CF. Kẻ EM,, FN là hai đường cao của tam giác AEF. Chứng minh MN//BC
cho tam giác ABC có các góc nhọn kẻ BE,CF là 2 đường cao kẻ EM,FN là 2 đường cao tam giác AEF cm MN song song với BC
cho tam giác ABC có các góc nhọn kẻ BE, CF là 2 đường cao. Kẻ EM, FN là 2 đường cao tam giác AEF. a)CM: AM/AF=AE/AC b)MN // BC
Cho tam giác ABC nhọn, có BE và CF là hai đường cao. Kẻ EM, FN là hai đường cao của
tam giác AEF. Chứng minh: MN // BC.
Lời giải:
Xét tam giác $AFN$ và $AEM$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \angle ANF=\angle AME=90^0\\ \angle A-\text{chung}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \triangle AFN\sim AEM(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AF}{AE}=\frac{AN}{AM}\)
Xét tam giác $AMN$ và $AEF$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \frac{AN}{AM}=\frac{AF}{AE}\\ \angle A- \text{chung}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \triangle AMN\sim \triangle AEF(c.g.c)\Rightarrow \angle AMN=\angle AEF(1)\)
Hoàn toàn tương tự, ta dễ dàng chứng minh được:
\(\triangle ABE\sim \triangle ACF(g.g)\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\)
Xét tam giác $AEF$ và tam giác $ABC$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \angle A-\text{chung}\\ \frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \triangle AEF\sim \triangle ABC(c.g.c)\Rightarrow \angle AEF=\angle ABC(2)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\angle AMN=\angle ABC\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(MN\parallel BC\)
Ta có đpcm.
Cho tam giác ABC nhọn có BE và CF là hai đường cao. Kẻ EM và FN là hai dường cao của tam giác AED. Chứng minh MN//BC
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tam giác BHF đồng dạng vs tam giác CHE
b) Chứng minh AF.AB = AE.AC
c) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC
d) Kẻ AH cắt BC tại I.
Chứng minh EB là tia phân giác của góc FEI
Giải
a) Xét \(\Delta BHF\) và \(\Delta CHE\) có:
\(\widehat{BHF}=\widehat{CHE}\) (vì đối đỉnh)
\(\widehat{BFH}=\widehat{CEH}=90^o\)
=> \(\Delta BHF\) \(\Delta CHE\) (g - g)
b) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có:
\(\widehat{A}\) là góc chung
\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^o\)
=> \(\Delta ABE\) \(\Delta ACF\) (g - g)
=> \(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\)
=> AF . AB = AE . AC
c) Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\widehat{A}\) là góc chung
\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\) (vì \(\Delta ABE\) \(\Delta ACF\))
=> \(\Delta AEF\) \(\Delta ABC\) (c - g - c)
d) Câu d mình không nghĩ ra. Bạn tự làm nha, chắc là xét tam giác đồng dạng rồi suy ra hai góc bằng nhau và sẽ suy ra đường phân giác đó.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm o. Kẻ đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC giao nhau tại H. Đường kính AK. Lấy I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng BH.BE+CH.CF=4IE²
Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có
\(\widehat{DBH}\) chung
Do đó: ΔBDH đồng dạng với ΔBEC
=>\(\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}\)
=>\(BH\cdot BE=BD\cdot BC\)
Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có
\(\widehat{DCH}\) chung
Do đó: ΔCDH đồng dạng với ΔCFB
=>\(\dfrac{CD}{CF}=\dfrac{CH}{CB}\)
=>\(CH\cdot CF=CD\cdot CB\)
ΔEBC vuông tại E
mà EI là đường trung tuyến
nên \(BC=2\cdot EI\)
=>\(BC^2=4\cdot EI^2\)
\(BH\cdot BE+CH\cdot CF\)
\(=BD\cdot BC+CD\cdot BC\)
\(=BC^2=4\cdot IE^2\)
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, $\hat{A}={60}^\circ$. Kẻ hai đường cao $BE$ và $CF$.
a) Chứng minh $\Delta AEF\backsim\Delta ABC$;
b) Cho $EF=5cm$, tính $BC$.
c) Cho $S_{ABC}=100 cm^2$.Tính $S_{AEF}$.
hứng minh được , từ đó có \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}t.AE phần AB=AF phần AC
Ta có: (g.c.g)
b, từ câu a) suy ra EF phần BC=AE phần AB=cos A=cos60 độ =1 phần 2
=> BC=10cm
c) Saef phần Sabc=(AE phần AB)^2=cos^2 A=1 phần 4 => SAEF =1 phần 4 SABC=25cm^2
a)xét tam giác AEB và tam giác AFC có:
Góc A chung
góc AEB=góc AFC=90 độ(gt)
=> tam giác AEB đồng dạng với tam giác ABC (g.g)
=> \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
=> tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.c.g)
b) theo a => \(\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=cosA=cos60^0=\dfrac{1}{2}\)
=> Bc=10cm
c)\(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2=cos^2=\dfrac{1}{4}\)=>\(S_{AEF}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}=25cm^2\)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) đường kính AD, đường cao AH, Kẻ BE vuông góc với AD, kẻ CF vuông góc AD, (E,F thuộc AD), M là trung điểm của BC. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF
Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ các đường cao BE, CF giao nhau tại H.
a) Chứng minh: AE.AC=AF.AB và tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC.
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với CF cắt tia AH tại M. Ah cắt BC tại D. Chứng minh: BD^2=AD.DM.
c) Cho góc ACB = 45 độ và kẻ AK vuông góc EF tại K. Tính tỉ số giữa S AFH/ S AKE.
d) Chứng minh: AB.AC = BE.CF + AE. AF