chỉ cần làm câu d thôi

Do AO là đường trung tuyến của tam giác ABC :

=) OB=OC =) O là trung điểm của BC

Và OD=OA =) O là trung điểm của AD

=) 2 đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm O

=) Tứ giác ABDC là hình bình hành  (1)

Do AB \(\perp\)AC tại A =) \(\widehat{BAC}\)= 90⁰  (2)

Từ (1) và (2) =) ABDC là hình chữ nhật

b) Do BH\(\perp\)AD

    CK\(\perp\)AD

=) BH // CK (*)

Do BD // AC

=) \(\widehat{DAC}\)=\(\widehat{B\text{D}A}\)(2 góc so le trong)

Xét tam giác AKC ( \(\widehat{AKC}\)= 90⁰) và tam giác DHB (\(\widehat{DHB}\)= 90⁰)  có :

                  AC=BD  (tính chất hính chữ nhật)

                \(\widehat{DAC}\)=\(\widehat{B\text{D}A}\)( chứng minh trên )

    =) Tam giác AKC= Tam giác DHB ( cạch huyền - góc nhọn )

                CK=BH (2 cạch tương ứng )   (**)

 Tứ (*) và (**) =) Tứ giác BHCK là hình bình hành

 =)  BK // CH

1.

a) Xét ΔADE có :

HE là đường trung tuyến của AD HA=HD )(1)

Ta thấy HC=12BC ( AH là đường trung tuyến của BC )

Mà BC = CE (gt )

⇒HC=12CE (2)

Từ (1) và (2) ⇒C là trọng tâm của ΔADE

b) Hơi khó đấy :)

Xét ΔAHB và ΔAHC có :

HAHA chung

HB=HC ( AH là đường trung tuyến của BC )

AB=AC( ΔABC cân tại A )

Do đó : ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)

⇒AHBˆ=AHCˆ( hai góc tương ứng )

Mà AHBˆ+AHCˆ=180⁰

⇒AHB^=AHC^=180⁰/2=90o

Xét ΔAHEvà ΔHED có :

HEHE chung

HA=HD( HE là đường trung tuyến của AD )

AHEˆ=DHEˆ(=90⁰)

Do đó : ΔAHE=ΔDHE ( hai cạnh góc vuông )

⇒AEHˆ=DEHˆ ( góc tương ứng ) (*)

Vì C là trọng tâm của ΔAED là đường trung tuyến của DE )

Xét vuông tại H có : HM là đường trung tuyến nối từ đỉnh H đến DE

⇒HM=DM (1)

Lưu ý : Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền . Tức HM=12DE Mà 12DE=DM⇒HM=DM

Trở lại vào bài :

Mặt khác DM=ME(cmt)(2)

Từ (1) và (2) ⇒HM=ME

⇒ΔHME⇒ΔHME cân tại M

⇒MHEˆ=MEHˆ

Dễ thấy MEHˆ=HEAˆ(cmt)

⇒MHEˆ=HEAˆ

mà hai góc này ở vị trí so le trong

⇒HM⇒HM//AE(đpcm)

2.

a) ta có:  \(\Delta OAB,\Delta OAC\) có diện tích bằng nhau và cùng đáy OA nên khoảng cách từ B , C kẻ đến OA 

nên BH=CK

b) gọi AK giao với BC tại M

Xét \(\Delta BHM\)và   \(\Delta CKM\)  có: 

..........

3.

a. xét tgiac ADC và tgiac ADB có

AD là cạnh chung

góc DAB = góc DAC(gt)

AB=AC(gt)

vậy tg ADC=tg ADB(c.g.c)

b.theo cminh cau a ta có DB=DC(2 cạnh tương ứng)

nên AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC mà G là trọng tâm tâm giác ABC nên A D G thẳng hàng

k mk nha thack ae

Bài 1  : 

a) Vì AH = HD => EH là đg trung tuyến của tg ADE
Khi đó C thuộc đg trung tuyến EH (1)
Do tam giác  ABC cân tại A
mà AH là đường cao của tam giác ABC
=> AH là đg trung trực của tam giác ABC
=> BH = CH
=> BH = CH = \(\frac{1}{2}\)BC
Lại do BC = CE
=> CH = \(\frac{1}{2}\) CE
hay CE = \(\frac{2}{3}\) EH (2)
Từ (1); (2) => C là trọng tâm của tam giác ADE.

b) Có : AH là đường cao của ΔABC
⇒ Góc AHC = 90
⇒ Góc DHC = 90 (kề bù)
Xét ΔAHE và ΔDHE có:
+ AH = DH (gt)
+ Góc AHE = góc DHE = 90
+ HE chung
⇒ ΔAHE = ΔDHE
⇒ Góc EAH = góc EDH (1)
Lại có: Tia AC cắt DE tại M
Mà C là trong tâm của ΔADE
⇒ AM là trung tuyến của ΔADE
⇒ M là trung điểm của DE
Mà ΔDHE là tam giác vuông tại H (do DHE = 90 )
⇒ HM là đường trung tuyến của cạnh huyền
⇒ HM = DM = EM
⇒ ΔHMD cân tại M
⇒ Góc MHD = góc MDH (2)
Từ (1) + (2) ⇒ Góc EAH = góc MHD
Mà hai góc này là hai góc đồng vị
⇒ AE // HM (đpcm)

Bài 2 :

a, Có Diện tích tam giác AOB= Diện tích tam giác AOC ( gt)
\(\Rightarrow\) BH=CK ( 2 đường cao tương ứng )
b, Gọi M là gia o điểm của AK và BC
Diện tích tam giác AOB = Diện tích tam giác AOC ( gt)
\(\Rightarrow\) MH=KM ( 2 đấy tương ứng)
Xét ΔBHM và ΔCKM có:
BH=CK (cmt)
\(​​\Rightarrow \widehat{BHM}=\widehat{CKM}\) \(=90^2\)( gt)
MH=KM ( cmt)
\(\Rightarrow\) ΔBHM = ΔCKM ( c.g.c)
\(\Rightarrow\) BM=CM ( t-ứng)
\(\Rightarrow\) OM là trung tuyến của ΔABCΔABC
Chứng minh tương tự có OE là trung tuyến của ΔABCΔABC
\(\Rightarrow\) O là trọng tâm của ΔABC ( đpcm)

a: Xét tứ giác ABDC có

O là trung điểm của AD

O là trung điểm của BC

Do đó: ABDC là hình bình hành

mà \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ABDC là hình chữ nhật

b: Xét ΔOHB vuông tại H và ΔOKC vuông tại K có

OB=OC

\(\widehat{HOB}=\widehat{KOC}\)

Do đoΔOHB=ΔOKC

Suyy ra: HB=KC

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BH=CK

Do đo: BHCK là hình bình hành

Suy ra: BK//CH