Gọi G là giao điểm BM và CN. Đặt AB=c, AC=b

Ta có: \(BM^2=\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}\) ; \(\Rightarrow BG^2=\left(\dfrac{2}{3}BM\right)^2=\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{9}\)

\(CN^2=\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}{4}\Rightarrow CG^2=\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}{9}\)

Mặt khác \(BG^2+CG^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{9}+\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}{9}=a^2\)

\(\Rightarrow b^2+c^2=5a^2\)

Áp dụng định lý hàm cos:

\(cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{5a^2-a^2}{2bc}=\dfrac{2a^2}{bc}\Rightarrow bc=\dfrac{2a^2}{cos\alpha}\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}bcsinA=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a^2}{cos\alpha}.sin\alpha=a^2.tan\alpha\)

Dùng hình bạn Ngọc nhé (khỏe khỏi phải vẽ :)

Xét \(\Delta BOC\)và \(\Delta NBC\)có

\(\widehat{OCB}\)chung

\(\widehat{BOC}=\widehat{NBC}=90\)

\(\Rightarrow\Delta BOC\)đồng dạng \(\Delta NBC\)

\(\Rightarrow\frac{BC}{NC}=\frac{OC}{BC}\Leftrightarrow BC^2=NC.OC\)

\(\Leftrightarrow BC^2=NC.\frac{2}{3}NC=\frac{2NC^2}{3}\)(Vì O là trọng tâm)

\(\Rightarrow NC=\sqrt{\frac{3}{2}}BC=\frac{\sqrt{3}.20132014}{\sqrt{2}}\)

chịu@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ai mà bít ??

a: Xét ΔABM vuông tại M và ΔACN vuông tại N có

góc BAM chung

=>ΔABM đồng dạng với ΔACN

=>AM/AN=AB/AC

=>AM*AC=AN*AB và AM/AB=AN/AC

b: Xét ΔAMN và ΔABC có

AM/AB=AN/AC

góc MAN chung

=>ΔAMN đòng dạng với ΔABC

c: ΔAMN đồng dạng với ΔABC

=>S AMN/S ABC=(AM/AB)^2=(cos60)^2=1/4

=>S ABC=4*S AMN