Từ đề ra : \(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}\)

=> Chuyển vế và nhóm lại ta đc : \(a^{2000}\left(a-1\right)+b^{2000}\left(b-1\right)=0\) (1)

Tương tự ta có : \(a^{2001}\left(a-1\right)+b^{2001}\left(b-1\right)=0\)(2)

Trừ 2 cho 1 : \(a^{2000}\left(a-1\right)^2+b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\) ( bạn phân tích là đc như vậy )

Vì các số hạng trên đều \(\ge0\) 

Nên : biểu thức bằng = khi các số hạng = 0 

Bạn cho các  số hạng =0 rồi tính ra đc : 

\(\orbr{\begin{cases}a=0\\a=1\end{cases}}\) và \(\orbr{\begin{cases}b=0\\b=1\end{cases}}\)

Vì a,b dương nên \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)

=> \(a^{2011}+b^{2011}=1+1=2\)

\(a^{2000}+b^{2000}=a.a^{2000}+b.b^{2000}=a^2.a^{2000}+b^2.b^{2000}\)

a=b={0,1} là nghiệm 

xét a,b \(\ne\left\{0,1\right\}\)

\(\left(1-a\right).a^{2000}=\left(b-1\right).b^{2000}\Leftrightarrow\frac{1-a}{b-1}=\left(\frac{b}{a}\right)^{2000}\)(1)

\(\left(1-a^2\right).a^{2000}=\left(b^2-1\right).b^{2000}\Rightarrow\frac{1-a^2}{b^2-1}=\left(\frac{b}{a}\right)^{2000}\)(2)

(1)&(2)=>\(\frac{1-a}{b-1}=\frac{1-a^2}{b^2-1}\Rightarrow\left(1-a\right)\left(b+1\right)=\left(1-a\right)\left(1+a\right)\Rightarrow a=b\)

Thay vào phương trình đầu: => a=b={0,1) a, b dương => a=b=1

a^20011+b^20011=2

\(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}\)

\(\Leftrightarrow a^{2000}+b^{2000}=a\cdot a^{2000}+b\cdot b^{2000}=a^2\cdot a^{2000}+b^2\cdot b^{2000}\)

Mà a,b >0 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=a^2=1\\b=b^2=1\end{cases}\Rightarrow a=b=1}\)

Vậy \(a^{2011}+b^{2011}=1+1=2\)

True or False??!?

chưa chặt chẽ

Từ đề bài ta có:

\(\left(a^{2001}+b^{2001}\right)\left(a+b\right)-\left(a^{2000}+b^{2000}\right)ab=a^{2002}+b^{2002}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)-ab=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)

Với \(a=1\Rightarrow b^{2000}=b^{2001}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=1\\b=0\end{cases}}\) (loại)

Với \(b=1\Rightarrow a^{2000}=a^{2001}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=1\\a=0\end{cases}}\) (loại)

Vậy \(a=b=1\Rightarrow a^{2011}+b^{2011}=1+1=2\)

 (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

 (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

đáp án bằng 2 nha bạn chi tết xem tại chyên đề bồi dưỡng hsg toán 8 trang 95

a²⁰⁰⁰ + b²⁰⁰⁰ = a²⁰⁰¹ + b^2001
=>a²⁰⁰⁰(a-1)+b²⁰⁰⁰(b-1)=0 (1)
tương tự: a²⁰⁰¹(a-1)+b²⁰⁰¹(b-1)=0 (2)
trừ (2) cho (1) ta được kết quả sau khi nhóm lại là:
a²⁰⁰⁰(a-1)²+b²⁰⁰⁰(b-1)²=0
mỗi số hạng ≥0 =>mỗi cái=0
tìm được a=0 or a=1 và b=0 or b=1
vì a,b dương nên nghiệm của pt là: (a;b)∈{(1;1)}
=>a²⁰¹¹ + b²⁰¹¹=2 

Vậy ...

số ab này bằng 1 hoặc bằng 0 nên a^2011+b^2011 bằng 0 hoặc 1 và tất nhên nó băng mấy cái trên

a;b \(\in\){0;1}

TH1: a;b =0

a²⁰¹¹+b²⁰¹¹=0^2011+0^2011=0

TH2: a;b=1

a^2011 + b^2011 = 1 + 1 = 2

\(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}\)

\(\Leftrightarrow a^{2000}\left(a-1\right)+b^{2000}\left(b-1\right)=0\left(1\right)\)

\(a^{2001}+b^{2001}=b^{2002}+a^{2002}\)

\(\Leftrightarrow a^{2001}\left(a-1\right)+b^{2001}\left(b-1\right)=0\left(2\right)\)

Trừ vế theo vế ta được:

\(\left(a-1\right)\left(a^{2001}-a^{2000}\right)+\left(b-1\right)\left(b^{2001}-b^{2000}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)a^{2000}\left(a-1\right)+\left(b-1\right)b^{2000}\left(b-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2a^{2000}+\left(b-1\right)^2b^{2000}=0\)

Mà a,b dương\(\Rightarrow a=b=1\)

\(\Rightarrow a^{2011}+b^{2011}=2\)

Chỉ có a=b=1 là thoả mãn thui
a²⁰¹¹+b²⁰¹¹=2