Cho biểu thức P = (1/2^2 - 1) x (1/3^2 - 1) x (1/4^2 - 1) . . . (1/2020^2 - 1). So sánh P với 1/2
Cho biểu thức P = (1/2^2 - 1) x (1/3^2 - 1) x (1/4^2 - 1) . . . (1/2021^2 - 1). So sánh P với 1/2
Trả lời:
\(P=\left(\frac{1}{2^2}-1\right)\left(\frac{1}{3^2}-1\right)\left(\frac{1}{4^2}-1\right)...\left(\frac{1}{2021^2}-1\right)\)
\(=\frac{1-2^2}{2^2}\cdot\frac{1-3^2}{3^2}\cdot\frac{1-4^2}{4^2}\cdot...\cdot\frac{1-2021^2}{2021^2}\)
\(=\frac{-3}{2^2}\cdot\frac{-8}{3^2}\cdot\frac{-15}{4^2}\cdot...\cdot\frac{-4084440}{2021^2}\)
\(=\frac{3}{2^2}\cdot\frac{8}{3^2}\cdot\frac{15}{4^2}\cdot...\cdot\frac{4084440}{2021^2}\) ( vì tích trên có 2020 thừa số, mà tích của 2020 thừa số âm là số dương )
\(=\frac{3\cdot8\cdot15\cdot...\cdot4084440}{2^2\cdot3^2\cdot4^2\cdot...\cdot2021^2}\)
\(=\frac{1\cdot3\cdot2\cdot4\cdot3\cdot5\cdot...\cdot2020\cdot2022}{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot4\cdot4\cdot...\cdot2021\cdot2021}\)
\(=\frac{\left(1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot2020\right)\cdot\left(3\cdot4\cdot5\cdot...\cdot2022\right)}{\left(2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot2021\right)\cdot\left(2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot2021\right)}\)
\(=\frac{1\cdot2022}{2021\cdot2}=\frac{1011}{2021}>\frac{1011}{2022}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(P>\frac{1}{2}\)
Kết luận B<1/2
\(P=\left(\frac{1}{2^2}-1\right)\times\left(\frac{1}{3^2}-1\right)\times...\times\left(\frac{1}{2021^2}-1\right)\)
\(=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\times\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\times...\times\left(1-\frac{1}{2021^2}\right)\)
\(=\frac{2^2-1}{2^2}\times\frac{3^2-1}{3^2}\times...\times\frac{2021^2-1}{2021^2}\)
\(=\frac{1\times3}{2^2}\times\frac{2\times4}{3^2}\times\frac{3\times5}{4^2}\times...\times\frac{2020\times2022}{2021^2}\)
\(=\frac{\left(1\times2\times3\times...\times2020\right)\times\left(3\times4\times5\times...\times2022\right)}{\left(2\times3\times4\times...\times2021\right)\times\left(2\times3\times4\times...\times2021\right)}\)
\(=\frac{1\times2022}{2021\times2}=\frac{2022}{2021\times2}>\frac{2021}{2021\times2}=\frac{1}{2}\)
Cho biểu thức: P= (√x+1/√x-1)+(√x-1/√x+1)- (2√x+2/x-1)
a, Rút gọn P
b, Tính giá trị của P biết x= 4+2√3
c, So sánh P với 2
a)Chứng tỏ răng B=1/2^2 +1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/6^2+1/7^2+1/8^2<1
b)Rút gọn B=(1-1/2)x(1-1/3)x(1/1-4)...(1-1/20)
c)Rút gọn biểu thức a=1+1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^2015
e)Tính giá thị biểu thức sau A=7/4x(3333/1212+3333/2020+3333/3030+3333/4242)
g)So sánh A=20^10+1/2^10-1 và B=2^20-1/2^10-3
h)Tính nhanh P=2/3-1/4+5/11 trên 5/12+1-7/11
so sánh các biểu thức C = 2020/2021+2021/2022+2022/2020vaf D=1/2+1/3+1/4+.....+1/15
so sánh các biểu thức C = 2020/2021+2021/2022+2022/2020vaf D=1/2+1/3+1/4+.....+1/15
tìm GTNN của biểu thức \(\frac{-8\sqrt{x}-3}{4x-1}\)
so sánh biểu thức \(\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}với\frac{1}{3}\)
so sánh \(\frac{2\sqrt{x}-2}{4x}với\frac{1}{2}\)
so sánh các giá trị của biểu thức: A= \(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+....+\frac{1}{2020\sqrt{2019}}\)
và B=2
Xét phân thức phụ sau, với n nguyên dương lớn hơn 1 ta có:
Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(n+1\right)-n}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(< \frac{2\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}\right)^2\sqrt{n}}=2\left(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}\right)\sqrt{n}}\right)\)
\(=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
=> \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Áp dụng vào bài toán ta được:
\(A=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2019}}-\frac{1}{\sqrt{2020}}\right)\)
\(A=2-\frac{2}{\sqrt{2020}}< 2=B\)
Vậy A < B
Cho 2 biểu thức:
A= (1-1/2).(1-1/3).(1-1/4) .... (1-1/19).(1-1/20)
B= (1-1/4).(1-1/9).(1-1/16) ... (1-1/81).(1-1/100)
a) Rút gọn biểu thức A, B
b) So sánh biểu thức A với 1/21
So sánh biểu thức B với 11/21
Bài 1: So sánh giá trị các biểu thức M và N biết:
a, 30 - 2 mũ 20 : 2 mũ 18 và N = 3 mũ 5 : (1 mũ 2021 + 2 mũ 3)
Bài 2: Thực hiện phép tính
a, 2 mũ 3 x 19 - 2 mũ 3 x 14 + 1 mũ 2020
b,10 mũ 2 - [ 60 : (5 mũ 6 : 5 mũ 4 - 3 x 5)]
c,160 : {17 + [3 mũ 2 x 5 - (14 + 2 mũ 7 : 2 mũ 4)}]
d,798 + 100 : [16 - 2(5 mũ 2 - 22)]
Bài 3:Tính giá trị của biểu thức có chứa chữ sau:
a, t mũ 2 + 5t - 6 khi t = 2
b,(a + b) mũ 2 - (b - a) mũ 3 + 2021 khi a = 5 ; b = a + 1
c, x mũ 3 - 3 x mũ 2 y + 3xy mũ 2 - y mũ 3 khi x = 3 ; y = 2
ALO CÁC BẠN ƠI GIÚP MÌNH VỚI Ạ!!!!
Bài 1 :
\(M=\dfrac{30-2^{20}}{2^{18}}=\dfrac{2.15-2^{20}}{2^{18}}=\dfrac{15}{2^{17}}-2^2=\dfrac{15}{2^{17}}-4< 0\left(\dfrac{15}{2^{17}}< 1\right)\)
\(N=\dfrac{3^5}{1^{2021}+2^3}=\dfrac{3^5}{9}=\dfrac{3^5}{3^2}=3^3=27\)
\(\Rightarrow M< N\)
Bài 3 :
a) \(t^2+5t-8\) khi \(t=2\)
\(=5^2+2.5-8\)
\(=25+10-8\)
\(=27\)
b) \(\left(a+b\right)^2-\left(b-a\right)^3+2021\left(1\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=a+1=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=11\\b-a=1\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)=11^2-1^3+2021=121-1+2021=2141\)
c) \(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=\left(x-y\right)^3\left(1\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x-y=1\)
\(\left(1\right)=1^3=1\)
Bài 2 :
a) \(...=2^3\left(19-14\right)+1=8.5+1=41\)
b) \(...=100-\left[60:\left(5^2-15\right)\right]=100-\left[60:10\right]=100-6=94\)
c) \(...=160:\left[17+\left(9.5-\left(14+2^3\right)\right)\right]=160:\left[17+\left(45-22\right)\right]=160:\left[17+23\right]=160:40=4\)
d) \(...=798+100\left[16-2\left(25-22\right)\right]=798+100\left[16-2.3\right]=798+100.10=798+1000=1798\)
Cho A = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2020^2}\)
a)so sánh A với 1
b)so sánh A với \(\frac{3}{2}\)