a) Đặt A = \(6^5.5-3^5\)

\(=\left(2.3\right)^5.5-3^5\)

\(=2^5.3^5.5-3^5\)

\(=3^5.\left(2^5.5-1\right)\)

\(=3^5.\left(32.5-1\right)\)

\(=3^5.159\)

\(=3^5.3.53⋮53\)

Vậy \(A⋮53\)

b) Đặt \(B=2+2^2+2^3+...+2^{120}\)

\(=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{119}+2^{120}\right)\)

\(=2.\left(1+2\right)+2^3.\left(1+2\right)+...+2^{119}.\left(1+2\right)\)

\(=2.3+2^3.3+...+2^{119}.3\)

\(=3.\left(2+2^3+...+2^{59}\right)⋮3\)

Vậy \(B⋮3\)

\(B=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{118}+2^{119}+2^{120}\right)\)

\(=2.\left(1+2+2^2\right)+3^4.\left(1+2+2^2\right)+...+2^{118}.\left(1+2+2^2\right)\)

\(=2.7+2^4.7+...+2^{118}.7\)

\(=7.\left(2+2^4+...+2^{118}\right)⋮7\)

Vậy \(B⋮7\)

\(B=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}\right)\)

\(+...+\left(2^{116}+2^{117}+2^{118}+2^{119}+2^{120}\right)\)

\(=2.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(+2^{116}.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(=2.31+2^6.31+...+2^{116}.31\)

\(=31.\left(2+2^6+...+2^{116}\right)⋮31\)

Vậy \(B⋮31\)

\(B=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8\right)+\left(2^9+2^{10}+2^{11}+2^{12}+2^{13}+2^{14}+2^{15}+2^{16}\right)\)

\(+...+\left(2^{113}+2^{114}+2^{115}+2^{116}+2^{117}+2^{118}+2^{119}+2^{120}\right)\)

\(=2.\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7\right)+2^9.\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7\right)\)

\(+...+2^{113}.\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7\right)\)

\(=2.255+2^9.255+...+2^{113}.255\)

\(=255.\left(2+2^9+...+2^{113}\right)\)

\(=17.15.\left(2+2^9+...+2^{113}\right)⋮17\)

Vậy \(B⋮17\)

c) Đặt C = \(3^{4n+1}+2^{4n+1}\)

Ta có:

\(3^{4n+1}=\left(3^4\right)^n.3\)

\(2^{4n}=\left(2^4\right)^n.2\)

\(3^4\equiv1\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow\left(3^4\right)^n\equiv1^n\left(mod10\right)\equiv1\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow3^{4n+1}\equiv\left(3^4\right)^n.3\left(mod10\right)\equiv1.3\left(mod10\right)\equiv3\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow\) Chữ số tận cùng của \(3^{4n+1}\) là \(3\)

\(2^4\equiv6\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow\left(2^4\right)^n\equiv6^n\left(mod10\right)\equiv6\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow2^{4n+1}\equiv\left(2^4\right)^n.2\left(mod10\right)\equiv6.2\left(mod10\right)\equiv2\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow\) Chữ số tận cùng của \(2^{4n+1}\) là \(2\)

\(\Rightarrow\) Chữ số tận cùng của C là 5

\(\Rightarrow C⋮5\)

d) Đặt \(D=75+\left(4^{2006}+4^{2005}+4^{2004}+...+1\right).25\)

Đặt \(E=4^{2006}+4^{2005}+4^{2004}+...+1\)

\(\Rightarrow4E=4^{2007}+4^{2006}+4^{2005}+...+4\)

\(\Rightarrow3E=4E-E\)

\(=\left(4^{2007}+4^{2006}+4^{2005}+...+4\right)-\left(4^{2006}+4^{2005}+4^{2004}+...+1\right)\)

\(=4^{2007}-1\)

\(\Rightarrow E=\dfrac{\left(4^{2007}-1\right)}{3}\)

\(\Rightarrow D=75+\dfrac{4^{2007}-1}{3}.25\)

Ta có:

\(4^{2007}=\left(4^2\right)^{1003}.4\)

\(4^2\equiv6\left(mod10\right)\)

\(\left(4^2\right)^{1003}\equiv6^{1003}\left(mod10\right)\equiv6\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow4^{2007}\equiv\left(4^2\right)^{1003}.4\left(mod10\right)\equiv6.4\left(mod10\right)\equiv4\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow\) Chữ số tận cùng của \(4^{2007}\) là 4

A chia hết cho 2 sẵn rồi 

CM A chia hết cho 30:

\(2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+2^4\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+....+2^{96}\left(2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(=30.\left(1+2^4+...+2^{96}\right)⋮30\)

Gợi ý;

B chia hết cho 5 sắn rồi

chia hết cho 6 nhóm 2 số vào

Chi hết cho 31 nhóm 3 số vào

A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^100

vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 2 

=> A chia hết cho 2

vậy_

1)

a)\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)

\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)

Vì \(3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)chia hết cho 3 nên \(B⋮3\)

\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)

\(\Leftrightarrow B=\left(3+3^3+3^5+3^7\right)+.....+\left(3^{1988}+3^{1989}+3^{1990}+3^{1991}\right)\)

\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6\right)+.....+3^{1988}\left(1+3^2+3^4+3^6\right)\)

\(\Leftrightarrow B=3.820+.....+3^{1988}.820\)

\(\Leftrightarrow B=3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\)

Vì \(3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\) chia hết cho 41 nên \(B⋮41\)

a) \(5+5^2+5^3+....+5^{100}\)

đặt \(A=5+5^2+5^3+....+5^{100}\) ( \(A\) có \(100\) số hạng )

\(A=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+....+\left(5^{99}+5^{100}\right)\) ( có \(100\div2=50\) nhóm )

\(A=5\left(1+5\right)+5^3\left(1+5\right)+....+5^{99}\left(1+5\right)\)

\(A=5.6+5^3.6+....+5^{99}.6\)

\(A=6\left(5+5^3+....+5^{99}\right)\)

vì \(6⋮6\Rightarrow6\left(5+5^3+....+5^{99}\right)⋮6\Rightarrow A⋮6\)

b) \(2+2^2+2^3+....+2^{100}\)

đặt \(B=2+2^2+2^3+....+2^{100}\) ( \(B\) có \(100\) số hạng )

\(B=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+.....+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\) ( có \(100\div5=20\) nhóm )

\(B=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+....+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(B=2.31+....+2^{96}.31\)

\(B=31\left(2+...+2^{96}\right)\)

vì \(31⋮31\Rightarrow31\left(2+...+2^{96}\right)\Rightarrow B⋮31\)

a) 5+5^2+5^3..+5^100

=(5+5^2)+(5^3+5^4)+....+(5^99+5^100)

=5.(1+5)+5^3.(1+5)+....+5^99.(1+5)

=5.6+5^3.6+.....+5^99.6

=6.(5+5^3+.....+5^99):6

cau b tuong tu nhe ban

(1+2³)+(2+2⁴)+...+(2⁸+2¹¹)

9+2(1+2³)+...+2⁸(1+2³)

9(1+2+...+2⁸) chia hết cho 9

=>( 2^0+2^1+2^2 + ...+2^11) chia hết cho 9

c)(5+5²)+(5³+5⁴)+...+(5⁹⁹+5¹⁰⁰)

5(1+5)+5³(1+5)+...+5⁹⁹(1+5)

6(5+5³+...+5⁹⁹) chia hết cho 3

a, Ta co : M= ( 1 +4 + 4² ) + ( 4^{3 +} 4^{4 +} 4^{5 )} +.......................+ ( 4²⁰¹⁰ + 4^{2011 +}4²⁰¹² )

              M = 1. (1+4+16 ) +4³. (1+4+16 ) +.........................+ 4²⁰¹⁰. ( 1+4 +16 

              M = 1, 21 + 4³. 21 +..............................................+ 4²⁰¹⁰ .21

              M= 21.(1+4³+.................................... + 42010 ) CHIA HẾT 21

​TƯƠNG TƯ

a) Ta có:

\( A = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \)

Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét tổng S = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \) (mod 5).

Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 5, \( 5^2 \) chia hết cho 5, \( 5^3 \) chia hết cho 5, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{100} \).

Vì vậy, ta có: \( S \equiv 0+0+0+\ldots+0 \equiv 0 \) (mod 5).

Do đó, A chia hết cho 5.

Để chứng minh A không chia hết cho 25, ta xét tổng T = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \) (mod 25).

Ta thấy rằng \( 5 \) không chia hết cho 25, \( 5^2 \) không chia hết cho 25, \( 5^3 \) không chia hết cho 25, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{100} \).

Vì vậy, ta có: \( T \equiv 5+0+0+\ldots+0 \equiv 5 \) (mod 25).

Do đó, A không chia hết cho 25.

b) Ta có:

\( B = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{20} \)

Để chứng minh B chia hết cho 6, ta xét tổng U = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{20} \) (mod 6).

Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 6, \( 5^2 \) không chia hết cho 6, \( 5^3 \) không chia hết cho 6, \( 5^4 \) chia hết cho 6, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{20} \).

Vì vậy, ta có: \( U \equiv 5+1+1+\ldots+1 \equiv 5 \) (mod 6).

Do đó, B chia hết cho 6.

c) Ta có:

\( C = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{2022}+5^{2023} \)

Để chứng minh C không chia hết cho 6, ta xét tổng V = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{2022}+5^{2023} \) (mod 6).

Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 6, \( 5^2 \) không chia hết cho 6, \( 5^3 \) không chia hết cho 6, \( 5^4 \) chia hết cho 6, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{2022} \) và \( 5^{2023} \).

Vì vậy, ta có: \( V \equiv 5+1+1+\ldots+1 \equiv 2 \) (mod 6).

Do đó, C không chia hết cho 6.

d) Ta có:

\( D = 1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{2021} \)

Để chứng minh D chia hết cho 7, ta xét tổng W = \( 1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{2021} \) (mod 7).

Ta thấy rằng \( 2 \) không chia hết cho 7, \( 2^2 \) chia hết cho 7, \( 2^3 \) không chia hết cho 7, \( 2^4 \) không chia hết cho 7, \( 2^5 \) không chia hết cho 7, \( 2^6 \) chia hết cho 7, và tiếp tục

mong mn cho minh vai xu :)))))))))))))))))))))))))))))))))

bạn Tiến Dũng Trương lm sai r

a, A = 5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁰⁰

    A = 5. ( 1 + 5 + ...+ 5⁹⁹)

    5 ⋮ 5 ⇒A =  5.(1 + 5 + ...+ 5⁹⁹) ⋮ 5 (1) 

A  = 5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁰⁰

A  = 5 + 5².( 1 + 5 + 5² + ... + 5⁹⁸)

A = 5 + 25 . ( 1 + 5 + 5² +...+ 5⁹⁸)

Vì 25 ⋮ 25 nên 25.(1 + 5 + 5² +... + 5⁹⁸) ⋮ 25 

5 không chia hết cho 25 nên 

A = 5 + 25.( 1 + 5 +...+ 5⁹⁸) không chia hết cho 25 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

A ⋮ 5 nhưng không chia hết cho 25 (đpcm)

có ssh từ 1-100 là:

(100-1):1+1=100(số)

giá trị của s là:

(100+1)*100:2=5050

vì 5050 có chữ số tận cùng là 0 =>s chia hết cho 2 và 5

5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁰⁰

1.Số các số hạng của dãy phép tính trên là:

(100-1):1+1 = 100 (số hạng)

Mỗi chữ số trên đều là số lẻ

=> Số lẻ + số lẻ = số chẵn

Mà có 100 số hạng => có tất cả 50 cặp.

Từ đó ta có thể biết là dãy phép tính trên chia hết cho 2.

2. Chắc chắn dãy số trên chia hết cho 5, sở dĩ nó được tạo nên bảo các lũy thừa có cơ số là 5, hay tất cả các lũy thừa ấy điều chia hết cho 5. Sử dụng tính chất chia hết của một tổng ta thấy dãy số trên chắc chắn chia hết cho 5.

=> Dãy số trên chia hết cho 2 và 5, hay nói cách khác là chia hết cho 10.

có số các số là:(100-2+1)+2=101

5 mũ mấy vẫn có tận cùng là 5

tận cùng của A là :101 x 5=505      ( tận cùng số đó là 5 chứ ko phải 505)

=> A chia hết cho 5

tớ nghĩ nó ko chia hết cho 2 vì tận cùng là 5

tớ ko biết cậu nhầm đề ko nhưng đề mà tớ thấy là

5+5²+5²⁺5³+5⁴+....+5¹⁰⁰